Matematické Fórum

CanisLupua · 10. 09. 2009 01:29

zdravim,

$\int (e^x sinx) dx$
... muzete mi nekdo pomoct s vypoctem metodou "per parte" pls ... zacal sem takhle
$\int (e^x sinx) dx = -e^x cosx - \int (-e^x cosx) dx$
ale dal uz se v tom nejak motam ... mozna bych jeste vytkl -1 ale dal nvm

Cheop · 10. 09. 2009 07:20 — Editoval Cheop (10. 09. 2009 11:03)

↑ CanisLupua:
Ještě jednou per partes a vznikne ti $\cdots\,\cdots\,-\int e^x\cdot\sin(x)\,dx$ převést na druhou stranu a budeš mít $2\int e^x\cdot\sin(x)\,dx=\,\cdots\,\cdots$ a ten výsledek podělíš číslem 2 a máš řešení
Mělo by ti vyjít:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

CanisLupua · 10. 09. 2009 12:22

↑ Cheop:

... asi delam porad neco spatne ... k tomuhle sem dosel $\cdots\,\cdots\,-\int e^x\cdot\sin(x)\,dx$ ... ale ja v tom vidim jenom -(puvodni zadani) ... muzes mi prosim rozepsat jak se dostanu k $2\int e^x\cdot\sin(x)\,dx=\,\cdots\,\cdots$

halogan · 10. 09. 2009 12:29

1 jablko = ABC - 1 jablko
2 jablka = ABC
1 jablko = (ABC)/2

jarrro · 10. 09. 2009 12:30

vyjde ti pôvodné zadanie = niečo -pôvodné zadanie potom pôvodné zadanie = nieco/2

CanisLupua

↑ jarrro:
no tak ted mi to vyslo uplne jinak ... to rezepisu
$\int e^x sin(x) dx = -e^x cosx + \int e^x cosx dx= -e^x cosx + (cosx e^x + \int e sinx dx) = \int e^x sinx$

pri druhe per partes sem dal u= cosx , v´= e^x

Cheop · 10. 09. 2009 12:54 — Editoval Cheop (10. 09. 2009 12:55)

↑ CanisLupua:
Původní integrál si označím jako I
ty tečky .......... si označím jako X (to co máš před integrálem jako částečný výpočet)
Po dvojím použití per partes dostanu:
I=X - I
2I = X
I = X/2 tot celé dílo. ( převádět na druhou stranu rovnice umíš a dělit 2 taky)

jarrro · 10. 09. 2009 13:18 — Editoval jarrro (10. 09. 2009 13:20)

↑ CanisLupua: $\int e^x sin(x) dx = -e^x \cos{x} + \int e^x \cos{x} dx= -e^x cosx + (e^x\sin{x} - \int e^x \sin{x} dx)\nl\int e^x sin(x) dx =\frac{e^x\left(\sin{\left(x\right)-\cos{\left(x\right)}}\right)}{2}+c$

Rumburak

↑ CanisLupua:
Je nutno postupovat tak, že ve dvou krocích per-partes jednu funkci postupně POUZE integruji a druhou POUZE derivuji:
$I = \int u''v = u'v - \int u'v' = u'v - $uv' - \int uv''$ = u'v - uv' + \int uv''$ ,
a pak využiji faktu, že poslední integrál $\int uv''$ je zde NÁHODOU roven $-I$ , a dostanu tak rovnici $I = u'v - uv' - I$ ,
která má smysluplné řešení $I=\frac{1}{2}(u'v - uv')$ .
Ty jsi ale ve druhém kroku per-partes své úpravy $\int u''v = u'v - \int u'v' = u'v - $u'v - \int u''v$$ "obrátil politiku",
co jsi v předchozím kroku zderivoval, jsi nyní nazpátek zintegroval, a co jsi v předchozím kroku zintegroval, jsi nyní zderivoval,
takže ses dostal přesně tam, odkud jsi vyšel, a vyšla Ti proto rovnice $I=I$ , která je triviální a nic smysluplného z ní neplyne.

Cheop · 10. 09. 2009 14:14 — Editoval Cheop (10. 09. 2009 14:54)

$\int e^x\cdot\sin(x) dx$
Per partes č.1
$u=e^x\,\,\,u^{'}=e^x\nlv^{'}=\sin(x)\,\,\,v=-\cos(x)$
$\int e^x\cdot\sin(x) dx=-e^x\cdot\cos(x)-\int e^x\cdot (-\cos(x)) dx\nl\int e^x\cdot\sin(x) dx=-e^x\cdot\cos(x)+\int e^x\cdot \cos(x) dx$
Per partes č. 2
$u=e^x\,\,\,u^{'}=e^x\nlv^{'}=\cos(x)\,\,\,v=\sin(x)$
$\int e^x\cdot\sin(x) dx=-e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int e^x\cdot \sin(x) dx=e^x\left(\sin(x)-\cos(x)\right)-\int e^x\cdot\sin(x) dx$ převod tohoto $\int e^x\cdot \sin(x) dx$ na druhou stranu rovnice a dostaneme:
$2\int e^x\cdot \sin(x) dx=e^x\left(\sin(x)-\cos(x)\right)$ - vydělíme 2 a máme výsledek:
$\int e^x\cdot \sin(x) dx=\frac{e^x}{2}\left(\sin(x)-\cos(x)\right)+C$

CanisLupua · 12. 09. 2009 15:54

a jeste jeden na per partes...

$\int cos^2(x) dx$

tak pokusim se naznacit kudy se ubirala moje marna snaha...

$u= cos^2(x)$ $u'= -2cos(x)sin(x)$
$v'= 1$ $v= x$

$\int cos^2(x) dx = xcos^2(x) - \int -2x cos(x)sin(x)$
ted by se asi melo $2 cos(x)sin(x)$ prevest na $sin(2x)$
potom
$xcos^2(x) + \int x sin(2x) dx$

$u= sin(2x)$ $u'= 2cos(2x)$
$v'= x$ $v= \frac {x^2}{2}$

$xcos^2(x) + x sin(2x) - \int x^2cos(2x)dx$
... ale ted nvm jestli ma cenu pocitat timhle stylem dal nebo uz tam mam nekde chybu...

jarrro · 12. 09. 2009 16:22 — Editoval jarrro (12. 09. 2009 17:12)

↑ CanisLupua:mne sa zdá jednoduchšie $v=\cos{x}\nlu^{\prime}=\cos{x}\nlv^{\prime}=-\sin{x}\nlu=\sin{x}\nl\int{\cos^2{x}}{\mathrm{d}x}=\left(\cos{x}\right)\left(\sin{x}\right)+\int{\sin^2{x}}{\mathrm{d}x}=\left(\cos{x}\right)\left(\sin{x}\right)+x-\int{\cos^2{x}}{\mathrm{d}x}\nl\int{\cos^2{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{\left(\cos{x}\right)\left(\sin{x}\right)+x}{2}+C$
a ak chceš tak ako si začal tak $\int{x\sin{\left(2x\right)}\mathrm{d}x}=\frac{1}{2}\int{2x\sin{\left(2x\right)}\mathrm{d}x}\nlt=2x\nl\mathrm{d}t=2\mathrm{d}x\nl\frac{1}{4}\int{t\sin{t}\mathrm{d}t}\nlv=t\nlu^{\prime}=\sin{t}\nlv^{\prime}=1\nlu=-\cos{t}\nl-t\cos{t}+\int{\cos{t}}=-t\cos{t}+\sin{t}\nlI=x\cos^2{x}+\frac{-2x\cos{\left(2x\right)}+\sin{\left(2x\right)}}{4}+C\nlI=\frac{4x\cos^2{x}-2x\cos{\left(2x\right)}+\sin{\left(2x\right)}}{4}+C\nlI=\frac{2x\cos^2{x}-x\cos{\left(2x\right)}+\sin{x}\cos{x}}{4}+C\nlI=\frac{x+\sin{x}\cos{x}}{4}+C$

CanisLupua · 13. 09. 2009 16:34

↑ jarrro:
aha ... sem to delal zbytecne slozite ... diky

Dalsi problem... ted zas potrebuju trochu popostrcit v substitucni metode, v ucebnici mi to prijde vysvetlene dost jalove...

1) $\int 2sin(x)cos^3 (x) dx$

2) $\int 5x^2 e^{x^3}dx$

muzete mi nekdo pls naznacit jak by ta substituce mela vypadat... u prvniho prikladu sem zkousel t=cos^3; t=sinx ... ale pokazde mi tam po dosazeni za dx zustane nejaky zbytek a to asi nebude zrovna ono...

jarrro · 13. 09. 2009 16:41 — Editoval jarrro (13. 09. 2009 16:44)

1) $t=\cos^2{x}\nldt=-2\cos{x}\sin{x}dx\nlI=-\frac{t^2}{2}+C=-\frac{\cos^4{x}}{2}+C$
2) $t=x^3\nldt=3x^2dx\nlI=\frac{5}{3}e^{x^3}+C$

LukasM · 13. 09. 2009 16:42

↑ CanisLupua:
1. subst. t=cos x
2. subst. t=x^3

CanisLupua · 13. 09. 2009 17:16

jo diky ... muzete mi pls mrknout na ten postup jestli je to dobre ... nebo mi to jen nahodou vyslo..

takze kdyz vezmu priklad
$\int 2sin(x) cos^3(x) dx$
zvolim substituci $t=cos^2(x)$ potom $\frac{dt}{dx}=-2cos(x)sin(x)$ <=> $dx=\frac{dt}{-2cos(x)sin(x)}$ a po dosazeni...
$\int 2sin(x) cos^3(x) dx = 2\int sin(x) cos(x)t \cdot \frac{dt}{-2cos(x)sin(x)}= - \int t dt= -\frac {t^2}{2}+C= \frac {- cos^4(x)}{2} +C$

jelena · 13. 09. 2009 21:21

↑ CanisLupua:

Zdravím, je to v pořádku - kontrolovat můžeš tak, že svůj výsledek zderivuješ nebo u strojů (show steps).

CanisLupua · 13. 09. 2009 22:38

$\int sin^2(x)\cdot cos^3(x)dx$
neporadite mi nekdo pls jak ma vypadat ta substituce nebo jak to upravit ... nic me nenapada

jelena · 13. 09. 2009 22:43

↑ CanisLupua:

$\cos^3x=\cos x\cdot(1-\sin^2x)$ OK?

Kondr · 13. 09. 2009 23:09

↑ CanisLupua:Už jsem tu jednou něco zkoušel psát o standardních substitucích. Ty spolu s úpravou od ↑ jeleny: řeší spoustu integrálů se sin a cos. Ty ostatní učebnicové se nechají vyřešit pomocí vzorců pro násobný argument.

Matematické Fórum

#1 10. 09. 2009 01:29

primitivní funkce

#2 10. 09. 2009 07:20 — Editoval Cheop (10. 09. 2009 11:03)

Re: primitivní funkce

#3 10. 09. 2009 12:22

Re: primitivní funkce

#4 10. 09. 2009 12:29

Re: primitivní funkce

#5 10. 09. 2009 12:30

Re: primitivní funkce

#6 10. 09. 2009 12:49 — Editoval CanisLupua (10. 09. 2009 12:50)

Re: primitivní funkce

#7 10. 09. 2009 12:54 — Editoval Cheop (10. 09. 2009 12:55)

Re: primitivní funkce

#8 10. 09. 2009 13:18 — Editoval jarrro (10. 09. 2009 13:20)

Re: primitivní funkce

#9 10. 09. 2009 13:48 — Editoval Rumburak (10. 09. 2009 14:58)

Re: primitivní funkce

#10 10. 09. 2009 14:14 — Editoval Cheop (10. 09. 2009 14:54)

Re: primitivní funkce

#11 12. 09. 2009 15:54

Re: primitivní funkce

#12 12. 09. 2009 16:22 — Editoval jarrro (12. 09. 2009 17:12)

Re: primitivní funkce

#13 13. 09. 2009 16:34

Re: primitivní funkce

#14 13. 09. 2009 16:41 — Editoval jarrro (13. 09. 2009 16:44)

Re: primitivní funkce

#15 13. 09. 2009 16:42

Re: primitivní funkce

#16 13. 09. 2009 17:16

Re: primitivní funkce

#17 13. 09. 2009 21:21

Re: primitivní funkce

#18 13. 09. 2009 22:38

Re: primitivní funkce

#19 13. 09. 2009 22:43

Re: primitivní funkce

#20 13. 09. 2009 23:09

Re: primitivní funkce

Zápatí