Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 10. 09. 2009 14:27

Dobré odpoledne,
narazil jsem na důkaz neexistence limity funkce sinus v nekonečnu (přes Heineho větu) a napadlo mě zkusit ho zobecnit pro všechny periodické funkce (tedy ukázat, že periodické funkce definované na R nemají limity v nevlastních bodech). Tímhle způsobem jsem narazil na otázku, jestli je konstantní funkce periodická. Podle definice by periodou mělo být každé kladné reálné číslo...? Obvykle se ale myslím jako perioda bere nejmenší perioda, potom si nevím rady. Ten důkaz neexistence limity samozřejmě pro konstantní funkci fungovat nebude, ale ostatní periodické funkce limitu skutečně nemají, ne?

kaja(z_hajovny) · 10. 09. 2009 14:38

"Obvykle se ale myslím jako perioda bere nejmenší perioda, potom si nevím rady. " :) co znamena obvykle ?

No ja bych nasel definici periody a potom se od toho odpichl. A protoze v jedne knizce to muzou brat tak a jine jinak, tak vzdycky zkonstolovat, jak tam maji definovanou periodu.

Rumburak

Domnívám se, že funkci konstantní na celé reálné ose lze považovat za periodickou funkci s libovolnou periodou
(její nejmenší kladná perioda ovšem neexistuje).

Pro nekonstantní periodickou funkci f (byť i definovanou na celé reélné ose) samozřejmě limita v nevlastním bodě
neexistuje, neboť

$\liminf_{x \to +\infty}\, f(x) \,<\, \limsup_{x \to +\infty}\, f(x)$ , obdobně pro ${x \to -\infty}$ .

EDIT. Samozřejmě souhlasím s tím, co píše ↑ kaja(z_hajovny):.

FliegenderZirkus · 10. 09. 2009 14:51

Podle definice na české a anglické Wikipedii mi právě připadá, že např. fuknce sinus má nekonečně mnoho period: 2π; 4π; 6π atd. Místo "obvykle" jsem asi měl napsat "mně by to přišlo nejrozumnější," což tedy samozřejmě neni to samé :-) za to se omlouvám. Našel jsem to teď hezky vysvětlené tady. Díky za reakce, příště nejdřív zkontroluju mathworld, tam je snad všechno

jarrro · 10. 09. 2009 15:31 — Editoval jarrro (26. 02. 2018 12:19)

podľa mňa je perióda funkcie číslo p kde
$p=\min\{m;m>0\wedge \forall k \in \mathbb{Z};f{$x+km$}=f{$x$}\}$

lukaszh · 10. 09. 2009 16:33

Rozlišoval by som pojmy najmenšia perióda a perióda. Najmenšia perióda je zhruba to, čo napísal ↑ jarrro:, iste by to šlo aj jednoduchšie
$\min\{p\in A\subseteq\mathbb{R}\,:\;f(x+p)=f(x)\}$

jarrro · 10. 09. 2009 17:04

↑ lukaszh:asi si myslel $\min\{p\in A\subseteq\mathbb{R}^+\,:\;f(x+p)=f(x)\}$

FliegenderZirkus · 10. 09. 2009 17:24

↑ lukaszh:
Jasně, v tomhle duchu taky chápu ten článek na mathworld.com

check_drummer · 13. 09. 2009 20:49

Pokud je opravdu perioda definována přes funkci min, pak pro konstantní funkci prostě perioda neexistuje - množina $\{x; x > 0\}$ nemá minimum.

FliegenderZirkus · 13. 09. 2009 21:23

↑ check_drummer:
Při rozlišování periody a nejmenší periody ten problém nenastane, o to původně šlo v mém dotazu a přesně na to odpovídá článek na mathworld, konstantní funkce teda nemá nejmenší periodu, ale jinak samozřejmě periodická je

Matematické Fórum

#1 10. 09. 2009 14:27

Periodicita konstantní funkce

#2 10. 09. 2009 14:38

Re: Periodicita konstantní funkce

#3 10. 09. 2009 14:42 — Editoval Rumburak (10. 09. 2009 14:45)

Re: Periodicita konstantní funkce

#4 10. 09. 2009 14:51

Re: Periodicita konstantní funkce

#5 10. 09. 2009 15:31 — Editoval jarrro (26. 02. 2018 12:19)

Re: Periodicita konstantní funkce

#6 10. 09. 2009 16:33

Re: Periodicita konstantní funkce

#7 10. 09. 2009 17:04

Re: Periodicita konstantní funkce

#8 10. 09. 2009 17:24

Re: Periodicita konstantní funkce

#9 13. 09. 2009 20:49

Re: Periodicita konstantní funkce

#10 13. 09. 2009 21:23

Re: Periodicita konstantní funkce

Zápatí