Matematické Fórum

↑ Maca:
Tohle jsou věci v jakých by to chtělo mít trochu jasno dřív než se pustíme do skalárních součinů, úhlů vektorů atd. Jednoduše a polopaticky vysvětlit si to tentokrát netroufnu, nicméně pojem vektorový prostor je zaveden na prvních stránkách jakékoli učebnice lineární algebry. Na internetu mnozí doporučují skripta pana Olšáka. Já osobně k nim nemůžu nic říct, nečetl jsem je. Zkusit je ale snad můžeš.

Nicméně se ještě zeptám takhle: z jakého důvodu se pouštíš do studia LA a na jaké úrovni ji plánuješ zvládnout? Ono i to zadání příkladu je totiž napsané dost nematematicky (třeba termín trojrozměrný vektor), tak je otázka jak hluboko do algebry je potřeba proniknout, aby bylo cíle dosaženo...

↑ Maca:
Sice nemám tušení co je KS, ale pokud je tam matika jen v prvním semestru, tak z toho opravdu netřeba dělat vědu.

Takže o co zhruba jde. Vektorový prostor je neprázdná množina nějakých prvků. Obecně je lhostejno jakých - náš přednášející s oblibou říká, že to mohou být brambory, ale ve většině, ne-li ve všech příkladech se kterými ty se setkáš se bude myslet množina n-tic čísel, počítám že pouze reálných. Ve vedlejších vláknech to byly nějaké čtveřice čísel, např. (1,0,0,0) byl vektor - jeden prvek té množiny. Když v zadání mluví a "trojrozměrném vektoru", myslí tím, že jde o trojici čísel. Takový prostor se dá přibližně představit - každý vektor odpovídá šipce z počátku do bodu (x,y,z) v kartézském systému souřadnic. Prostory vyšších dimenzí (čtveřice, patnáctice čísel) si většina lidí představit nedokáže.

Na vektorovém prostoru musí být definovány operace sčítání vektorů. Na těch prostorech n-tic jsou definovány tak, že sčítáme-li vektory (1,3,5) a (0,7,4), musíme sečíst příslušné složky spolu, takže výsledek bude (1,10,9). To jsme už řešili někde vedle. Na tom "prostoru všech šipek" se to dá představit tak, že vezmeš jednu šipku a posuneš ji tak, aby navazovala na druhou - výsledek je šipka z počátku do bodu kam dosáhne (všechny šipky toho prostoru začínají v počátku).

Dál musí být definováno násobení vektoru číslem. Nebudeme řešit jakým číslem, myslím, že pro tvoje účely bude stačit říct, že reálným. Na prostorech n-tic je definováno tak, že se násobí všechny složky vektoru, tedy třeba 3(1,4,5)=(3,12,15). U těch šipek to odpovídá jejich natahování.


Tak a teď k tomu příkladu. Aby šlo o množině říct, jestli je to vektorový prostor nebo ne, musí ty definované operace splňovat nějaké předpoklady. To tu nebudu rozebírat, není to potřeba. Dál musí platit, že když vezmu dva vektory z toho prostoru a sečtu je spolu, výsledek opět leží v tom prostoru. Analogicky když vektor z prostoru něčím vynásobím (nějakým libovolným R číslem), výsledek musí ležet zase v tom prostoru. Pokud to všechno platí, můžeme množinu prohlásit za vektorový prostor. Dá se to hezky popsat termínem "uzavřenost vůči sčítání a násobení".

Takže když ti to zadání přeložím. Někdo vzal ten prostor trojic (na kterém jsou nějak definované operace atd.) a vyházel z něj všechny vektory s nulovou třetí složkou. Otázka zní, jestli to pořád bude vektorový prostor (patrně se stejně definovanými operacemi), nebo jestli to poruší něco z toho co jsem říkal.


Tak snad to bylo polopatický dost. Podobně populární formou toho bude na internetu určitě víc, tak zkus hledat - já bohužel z hlavy žádný odkaz nevím.
Pokud to čte nějaký matematik, jistě si rve vlasy a já se mu nedivím. Opravdu je to celé "trochu" složitější, a hodně z toho co jsem napsal obecně není pravda, něco jsem zase vynechal. Myslím ale, že pro tvoje účely by to mohlo stačit.

↑ Oxyd:
Větu o nulovém vektoru jsem tam napsal, ale nakonec jsem ji vyhodil, aby to bylo kratší. Že tam musí být plyne z toho, že nula krát libovolný vektor dá nulový vektor. V tom povídání jsem se omezil na prostor n-tic se "standardně" definovanými operacemi a reálné těleso, takže jsem tu hezkou vlastnost nepopisoval. Nemyslím si, že by bylo potřeba sem psát všechny axiomy vektorového prostoru a budovat tady teorii v celé šíři. Tenhle příklad je podle mně řešitelný s tím co jsem napsal, a obecnější přístup bude tazatelku akorát mást.

Nebo to není pravda?

Děkuji za odpovědi a překlad zadání :)
Dohledala jsem toto
Pro počítání s n-rozměrnými vektory (které by měly tvořit n-rozměrný vektorový prostor) a,b,c platí tato pravidla:
a+b = b+a         a+(b+c)=(a+b)+c       a+0=a        k1(k2a) = (k1k2)a      k(a+b)=ka+kb    (k1+k2)a=k1a +k2a

Vymyslela jsem si vektory s 3.souřadnicí nulovou: a=(1,2,0)   b=(1,3,0)    c=(4,5,0)    a  k1=2    k2=3

Vyzkoušela jsem všechny zmíněné operace a vždy se strany rovnaly. Pokud můj postup byl správný, měly by tyto množiny tvořit lineární prostor. Pokud ano, stačí jako odůvodnění můj postup?

A ještě nerozumím jedné z poznámek: Rovnost ka = 0 platí právě v těchto případech:
1.  k=0, a \neq 0         2.  k \neq 0, a=0        3.  k=0, a=0

to "\neq" má být "nerovná se"

Děkuji předem za odpověď.

↑ Maca:
Ano, je to přesně jak píše jarrro. To co jsi dohledala je vlastnost těch operací sčítání a násobení, které ale jsou definovány stejně jako na "celém" prostoru těch trojic, a tam tohle všechno platí. To je přesně to, o čem jsem psal v tom dlouhém příspěvku jako o těch nějakých předpokladech, které netřeba rozebírat. Tady je klíčová ta uzavřenost vůči těm operacím.

Ty zákony co jsi napsala ty by se musely prověřovat v případě, že by někdo ty operace předefinoval - což je možné, ale jak už jsem psal, divil bych se kdyby ses s takovým příkladem setkala.

↑ Maca:tretia súradnica je v pôvodnej úlohe nenulová ak by bolo zadanie,že tretia súradnica je nulová tak by o vektorov priestor išlo,lebo (a,b,0)+(c,d,0)=(a+c,b+d,0) čo je z tej množiny ku každému vektoru existuje opačný ku (a,b,0) je opačný (-a,-b,0) čo je tiež z tej množiny a tak isto (a,b,0)=(x,y,0)+(c,d,0) má jediné riešenie (x,y,0)=-(c,d,0)+(a,b,0) a vektor (0,0,0) z množiny vektorov s nulovou treťou zložkou je. To neznamená,že iná zložka už nulová byť nemôže

Odpovědi čtu poctivě pořád do kola. Bohužel i tak mi to nespíná. Třeba to, jak mohu zjistit, zda množina splňuje definované operace, když nemám co sčítat a co násobit. To si mohu vymyslet, jako jsem to udělala předtím?

Dobře, tak třeba: a=(1,2,3)   b=(2,4,6)
Pak a+b= (3,6,9)   a    5a=(5,10,15)

kdyby bylo: a=(1,2,3)     b=(0,0,0)
pak a+b= (1,2,3)       a    5a=(5,10,15)

Jak poznám, že výsledek leží v tom prostoru? Že výsledná souřadnice nepřesáhne tu původní? To asi ne...

Pokud jedním z možných řešení by bylo to, že by měl v lineárním prostoru existovat 1 nulový vektor, tzn vektor se všemi souřadnicemi rovnými nule a my máme jen vektory, kde na 100% je vždy jedna nenulová, pak by to bylo fajn. Nicméně ráda bych porozumněla i tomu spolňování uzavřenosti.

Jsem asi Tatar.
Co to znamená, že po součtu bude výsledek ležet zase v té množině?Že každá jednotlivá souřadnice nepřesáhne tu původní? Jak to poznám, že leží či neleží v té množině?
ad 4. odstavec: no, když sčítám např. a=(1,2,3)   a  b=(-1,2,-3), nebude mít součet (0,4,0) nenulovou  třetí složku...  A to už si zase vymýšlím čísla.
A jak udělám z násobení nulou nenulový výsledek - to snad nejde, ne?
Znamená to, že, když ani jedno nejde, že PROTO to není lineární prostor?

Takže bingo? A navíc tomu snad i trochu rozumím. No to je super. :)
A vyučujícím žádané odůvodnění by bylo: že vektory s nenulovou třetí souřadnicí nesplňují podmínky uzavřenosti vůči sčítání a násobení a dále podmínku existence právě 1 nulového vektoru? Je to postačující?

Moc děkuji pomoc a za OBROVSKOU trpělivost !!!

PS:Dají se příspěvky vytisknout?Mě to tiskne jen levou boční lištu...
     A snad se nebudete zlobit ... ještě mi tam visí jeden fakt krátky dotaz u "kartézský součin od Lucys" - nevím, jestli  nějak nezapadl.

Ještě jednou moc děkuji!

Děkuji moc za pomoc!