Matematické Fórum

Mějme trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C  (kresli si to) .
Z vrcholu C spustníme kolmici (tedy výšku )  na přeponu AB,  patu této výšky označíme P.
Dostaneme tak trojúhelníky ACP, CBP, z nichžž každý je podobný s trojúhelníkem ABC (dle věty uu
- např. ACP má s ABC spoečný úhel alfa při A a oba jsou pravoúhlé).

Z podobnosti ACP s ABC plyne  AC / AB  =  AP / AC ,  tedy          AC * AC = AP * AB ,
což je E. věta o odvěsně AC v ABC (symbolem XY značíme ve vzorcích zároveň délku úsečky XY).

Z podobnosti ACP s CBP plyne  AP / CP  =  CP / BP ,  tedy          AP * BP = CP * CP ,
což je E. věta o výšce CP v ABC.

To je k vysvětlení Euklidových vět.

Dále:
Střed přepony AB trojúh. ABC je zároveň středem kružnice opsané (viz Thaletova věta), odtud je jasné,
čemu se bude rovnat její poloměr.

Střed X kružnice vepsané určuje trojúhelníky ABX , BCX, CAX , z nichž se skládá trojúh. ABC .
Obsah |ABC| trojúh. ABC je roven jednak (1/2)*AC*BC ,
jednak součtu obsahů trojúh. ABX, BCX, CAX,  kde např.  |ABX| = (1/2)*AB*q  atd.

Z toho to snad už dáš do kupy.

↑ aaaninka:
Pyth. větu použijeme při výpočtu délky přepony AB, která je důležitá jednak jakožto průměr kružnice opsané trojúh. ABC, tedy 2*r = AB,
jednak jako základna trojúhelníka ABX , jehož výška je pak q (poloměr kružnice vepsané). Pro výpočet q sestavíme rovnici

   |ABC| = |ABX| + |BCX| + |CAX|,

když jednotlivé obsahy vyjádříme pomocí vhodných "základen a výšek" , obdržíme rovnici

  (1/2)*AC*BC =  (1/2)*AB*q + (1/2)*BC*q + (1/2)*CA*q ,

z níž vypočítíme q. Přímou souvislost s Euklidovými větami zde nevidím. Pomocí Euklidových vět se ovšem často dokazuje věta Pythagorova.

↑ Kondr:  k problému dvounegace v češtině a jinak naprostý souhlas a pozdrav i pro kolegu Rumburaka :-)

↑ aaaninka: je možné, že úloha byla zadána za účelem opakování tématu Pravoúhlý trojúhelník jako celku, aby se paní učitelce lépe navazovalo ve výkladu.