Matematické Fórum

Skrytý text:
Řešme pro přirozená čísla. Tedy pro x>=1. Potom, jelikož na levé straně rovnice je součin 4 čísel jdoucích po sobě, je mezi nimi právě jedno dělitelné 4 a právě jedno dělitelné (právě!) 2, tj. levá strana rovnice bude obsahovat mocninu 2 ve tvaru: . Ovšem na pravé straně rovnice je čtverec, který ovšem musí obsahovat činitel tvaru (eventuelně pro k = 0). To pro žádná k a n není možné splnit, tedy pro x >=1 řešení neexistuje. Stejnou úvahou pro záporná čísla dospějeme k tomu, že pro x <= - 4 rověž řešení neexistuje. Tedy zbývá případ nuly a ta se na levé straně nabyde pro x = -3, -2, -1, 0 a na pravé pro y = 0, tedy řešením jsou tyto 4 dvojice x,y.

Skrytý text:
To je fakt, myšlení v noci není vždy racionální. Tedy lépe, aspoň částečně: Pokud nějaké prvočíslo > 3 dělí některé z čísel (dále "čísla") x až x+3, pak nedělí žádné jiné z nich a proto se vyskytuje v rozkladu tohoto čísla v sudé mocnině (aby výsledný součin byl čtverec), navíc mezi čísly x až x+3 se vyskytuje právě jedno číslo dělitelné právě 2 (a ne 4) a právě jedno číslo dělitelné 4 (dokonce lichou mocninou 2ky větší než 2) (a rozdíl obou těchto čísel je 2). Také jsou buď jedno nebo dvě (a pak se jedná o x a x+3) čísla násobkem 3. Tedy aspoň jedno z těchto čísel bude čtvercem (vlastnost A) a nebude dělitelné ani 2 ani 3.

Pokud by vlastnost A měla 2 čísla, pak po vykrácení levé a pravé strany rovnice dostaneme . Což ovšem není v přirozených číslech řešitelné (jediná nabízející se možnost m = n+1 ji neřeší). Tedy buď je jedno z čísel dělitelné 6 nebo je jedno dělitelné 9 a není dělitelné 2. Ovšem druhá možnost nemůže nastat, protože pak by toto číslo mělo vlastnost A a opět dostaneme neřešitelnou rovnici. Tedy z toho plyne, že x a x+3 jsou dělitelné 3 a jedno ze 4 čísel (x až x+3) je dělitelné 6 a druhé je dělitelné lichou mocninou 3 (platnost dělitelnosti 2 a 4 je stále samozřejmě splněna).

Nějak se nám to komplikuje, takže nechám úvahu otevřenou v naději, že ve svěžejším stavu se k ní vrátím. :-)

Skrytý text:
Ten první případ se sudou mocninou dvojky jsem považoval za případ, kdy rovnice nemá řešení a proto jsem se zabýval jen těmi případy (možnými potenciálními řešeními), kde existuje lichá mocnina dvojky (tedy aspoň třetí), která toto číslo tvoří. Stejně tak pokud se vyskytuje jen jeden násobek 3ky, pak řešení rovněž neexistuje - buď  se jedná o lichou mocninu trojky - pak y^2 nebude čtverec a nebo se jedná o sudou mocninu trojky a pak dojde k případu (*), což nemá pro přirozená m,n řešení (jak jsem předtím uvedl).

Ovšem nakonec jsem si výraz vynásobil (1. a 4. a k tomu 2. a 3. člen) a dostal: . Nyní vytěžím aspoň jeden plod z mých předchozích úvah - totiž ten, že neexistují dvě přirozená (a analogicky ani dvě záporná) čísla, jejichž rozdíl je 2 a jejichž součin dá čtverec (to je bod (*)) a tedy ani náš upravený výraz nemůže být čtverec. Tj. jak jsem uvedl dříve - jediná řešení jsou pro y=0 a příslušné hodnoty x "motající se kolem 0".