Matematické Fórum

Um..  Možná nerozumím otázce.  Ptáš se, jestli musíš dokazovat lineární závislost, když ti učebnice řiká, že taková soustava je lineárně závislá?  Ale určitě si můžeš dokázat, že to tvrzení z učebnice platí -- není to těžké.

↑ Maca:

U nsá nematematikůl (všcht) stačilo říct něco v tom smyslu, co jsi psala výše. Nejlepší, když víš proč to tak je, zbytek už je jen dobnost, co se doladí na ústní ;-).

Ale kdo ví, jak je tomu u matematiků..

no, abych se k té ústní vůbec dostala... Ale děkuji za posvěcení mé myšlenky.
Můžete mi, PROSÍM, taky někdo kouknout na ty moje výpočty v tématu : "lineární závislost a nezávislost vektorů - původně od -leniczcha? To abych věděla, jestli jsem to počítala správně a pustila se tak do zjišťování LZ a LNZ u té poslední třetí soustavy :)
Děkuji.

Omlouvám se, jsem rychlokvaška a navíc mi to po 12-hodinové službě moc nemyslí..
Chtěla jsem dohledat, co to je NETRIVIÁLNÍ lineární kombinace. Nic jsem neobjevila. Že by to byla neobyčejná lineární kombinace? A ona je nějaká i obyčená?
Vím, že nulový vektor je 0 (nula s šipkou)  a dá se napsat o=(0,0,0,...0), a1 = např. (1,0,3),  a2 = např. (4,5,6)..
Ale nerozumín, proč ve vašem příkladu násobíme nulový vektor např.7 a všechny ostatní 0?
A jak si mám, prosím, představit nulový vektor. Nulový vektor = množina nulových úseček. Nulové orient. úsečky mají nulovou velikost = počáteční bod splývá s koncovým. Je tedy nulová orient. úsečka bod a nulový vektor je množina samostatných bodů? Nebo jsem úplně mimo?
Děkuji.

↑ Maca:
Netriviální kombinace je vpravdě neobyčejná - a sice tím, že mezi koeficienty které v ní vystupují je alespoň jedna nenula.
Takže, když mám vektory a,b,c, a nějaká jejich lineární kombinace se rovná třeba x=4a+3b+c. To je netriviální kombinace, protože ty vektory se násobí nenulovými čísly. Kombinace y=0a+0b+0c je triviální.
Při řešení lineární závislosti a nezávislosti souboru vektorů se řeší otázka jak se z daného souboru dá nakombinovat nulový vektor. Triviálně to jde určitě. Pokud ještě nějak jinak, je soubor LZ, když ne, je LN. Třeba mějme vektory (2,1,1), (1,0,1) a (3,2,1). Jsou LZ, protože 2(2,1,1)-(1,0,1)-(3,2,1)=(0,0,0) - našli jsme netriviální kombinaci. A jak ji najít, nebo ukázat že neexistuje, to řešíme někde v paralelním vlákně o Gaussově eliminační metodě.

Proč Rumburak násobí nulový vektor 7kou? Protože ukazuje, že ze souboru který obsahuje nulový vektor se nulový vektor dá vždy získat NETRIVIÁLNÍ kombinací, nezávisle na ostatních vektorech. Takový soubor je tedy vždy LZ.

Jak si představit nulový vektor? No, pokud se budeme držet toho "prostoru všech šipek", o kterém jsem tu už někde blábolil (a přibližuje pouze prostor trojic), tak by to byla šipka nulové délky, tak jak říkáš. Co říkáš špatně je to, že si myslíš, že vektor je jakási množina - není. Je to prostě prvek vektorového prostoru.
Pokud otázka zní, jak si představit nulový vektor na prostoru třeba 5tic vektorů, tak já nevím. V takovém prostoru si totiž neumím představit ani žádný jiný vektor, a koukám tam na ně tak jak opravdu jsou - tedy jako na pětice čísel.

↑ Maca:
Existují různá pojetí vektoru, která se liší stupněm abstrakce. Některá zde pro přehlednost uvedu.

1.  V algebře zavádíme příslušnou definicí takzvaný vektorový (neboli lineární) prostor jakožto množinu s určitými (konkretními) algebraickými
     vlastnostmi.  Vektorem pak nazýváme libovolný prvek vektorového prostoru.
     Vektory lze spolu sčítat, mimo to  každý vektor lze násobit tzv. skalárem, v obou případech požadujeme, aby tyto operace splňovaly určité
     zákonitosti - tzv. axiomy vektorového  prostoru.   Množinou skalárů, jimiž násobíme vektory, je v běžných případech  množina  všech reálných
     čísel, hovoříme pak o vektorovém prostoru nad tělesem reálných čísel. (Algebraické těleso a vektorový prostor jsou příklady tzv. algebraických
     struktur.)  Toto je asi nejabstraktnější pojetí vektoru.

2.  Příkladem vektorového prostor nad tělesem reálných čísel je množina všech reálných funkcí definovaných na předem dané množině.
     Naopak každý vektorový prostor nag tělem r.č. lze vyjádřit jako jako množinu určitých reálných funkcí, které jsou definovány na společné
     množině. V tomto pojetí je vektor funkcí a tedy množinou (neboť funkci lze vyjádřit jako množinu).
     Příklad: vektor  (u_1 , u_2) lze interpretovat jako funkci definovanou na množině {1, 2}.

3.  V geometrii lze vektor (například vektor v dané rovině) definovat jako operaci posunutí, neboli jako množinu všech orientovaných úseček
     společného směru, orientace a velikosti. Zde je opět vektor množinou.

    EDIT. Orientovanou úsečku lze chápat jako uspořádanou dvojici bodů : [počáteční bod, koncový bod]. Pojímáme-li vektor ve smyslu
    odstavce 3, pak nulový vektor je množinou všech takových usp. dvojic bodů, v nichž koncový bod je totožný s počátečním bodem.


4.  Lze zavést též tensorový prostor a vektory jsou pak speciálními případy tensorů.

Ve svém předchozím příspěvku jsem nulový vektor násobil číslem 7, ale mohl jsem k tomu účelu (abych určil nějakou netriviální LK rovnou
nulovému vektoru) stejně dobře použít i kterékoliv jiné nenulové r.č.

↑ Maca:Pokud naskládáš vektory do sloupců a jeden sloupec je nulový, pak musí zůstat nulový i po úpravách, někde je chyba. Jinak proč je ten systém závislý už psal Rumburak: je netriviální kombinace.

Maca napsal(a):

Ale kde mám ten nulový vektor?  Můžete mi ho označit? nebo je to ten z toho zadání?
Děkuji.

Ten nulový vektor je vektor pravých stran rovnic.

↑ Maca:
Vtip je v tom, že zde MOHU NALÉZT řešení (x,y,z)  takové, v němž y <> 0, a sice ve tvaru (x,y,z) = (0,t,0) , kde t <> 0 (jinak libovolné,
např. t=7)  - udělej si zkoušku a uvidíš, že to tak je.
Tím dostanu NETRIVIÁLNÍ LK   0*a + t*b + 0*c =  0*a + t*0 + 0*c = 0, čímž je dokázáno,  že dotyčné vektory a, b, c jsou lin. závislé
(a, b, c jsou sloupcové vektory v základní matici soustavy , v našem příkladě b =0).
Kdyby NEtriviální LK  x*a + y*b + z*c   rovna  nulovému vektoru NEEXISTOVALA, znamenalo by to, že vektory  a, b, c  jsou lin. NEZÁVISLÉ.
Triviální LK odpovídající triviálnímu řešení  (x,y,z) = (0,0,0) příslušné soustavy dá nulový vektor VŽDY, ať již jsou dané vektory závislé
nebo nezávislé a proto triviální LK  (tedy s koeficienty x=0, y=0, z=0)  o závislosti či nezávislosti příslušných vektorů nic nevypovídá a proto
nemá smysl se jí extra zabývat.

Shrnuti:

A) Nulový vektor lze získat POUZE takovou LK daných vektorů, která je TRIVIÁLNÍ (všechny její koeficienty rovny 0) ==> vektory jsou
LIN. NEZÁVISLÉ .

B) Nulový vektor lze získat ROVNĚŽ nějakou LK daných vektorů, která je NETRIVIÁLNÍ (aspoň jeden její koeficient je nenulový 0) ==> vektory
jsou LIN. ZÁVISLÉ .

Nastane-li případ B, kdy  x*a + y*b + z*c  = 0  a například y <> 0 ,  pak vektor b mohu z polední rovnice VYJÁDŘIT POMOCÍ VEKTORŮ a, c,
totiž  b = - (1/y)(x*a +  z*c) , což v případě A nelze (neboť nelze dělit nulou).  V tom je smysl definice lin. závislosti vektorů (v případě B, kdy
b = - (1/y)(x*a +  z*c)  ,  též říkáme, že vektor b je lineárně závislý na vektorech a, c).

↑ Maca:

Dosazovat nějaké to  t <> 0 na vhodné místo a na jiná vhodná místa dosazovat nuly byl způsob, jak JEDNODUCHÝM ZPŮSOBEM určit LK ,
která má následující 2 vlastnosti:
(1)  je netriviální (tj. alespoň jeden její koeficient je nenulový - což bude zajištěno  oním koeficientem t <> 0 ),
(2)  je rovna nulovému vektoru (což bude zajištěno vhodným přiřazením koeficientů jednotlivým vektorům seznamu) .

Když přesně takovou LK nalezneme, bude to znamenat, že vektory jsou lin. závislé (viz definice tohoto pojmu).  Úloha nalézt takovou LK
ve složitějších případech nemusí být po tecnické stránce nijak snadná, avšak díky skutečnosti, že v seznamu vektorů 

                       a=(1,2,3),   b=(0,0,0),   c=(1,0,1)

je vektor b nulový, se problém usnadní, a to zásadním způsobem. Hledanou LK lze pak totiž snadno "uhádnout" (i když ne zcela bez rozmyslu,
ale na základě určitého nadhledu a zkušeností), někdo dojde tímto způsobem k LK , jiný možná  k , v obou případech
jde o nulový vektor dosažený netriviální LK.

Naproti tomu , ,  , a mnohé další netriviální LK NEJSOU nulovými vektory.
(Doporučuji si to ověřit výpočtem, tím získáš onu "zkušenost" a "nadhled".)

Kdyby žádný z vektorů a,b,c nebyl nulový, pak tímto způsobem "uhádnout" vhodnou LK  obecně neumíme a musíme pak úlohu řešit
pomocí nějaké náročnější metody - nejobecnější z nich je GAUSSOVA ELIMINAČNÍ.

Ale existují i další případy, kdy lze "z fleku" říci, že seznam vektorů je LZ:
-  některý vektor je v seznamu uveden vícekrát než jednou,
-  některý vektor je násobkem jiného vektoru,
-  počet vektorů je větší než dimense prostoru (= počet souřadnic).