Matematické Fórum

mysak · 18. 09. 2009 15:39

Stačilo by mě jen trochu nakopnout :)

Je dán bod A(2,4) a přímka p: x-2y+c=0. Určete na přímce p bod R tak, aby přímky AR a p měly odchylku 45 stupňů

musixx · 18. 09. 2009 16:03 — Editoval musixx (18. 09. 2009 16:19)

Přímka s parametrem c? Může být... Třeba určit c tak, aby zadaný bod na přímce neležel.

Možný postup:
1. vyjádřit libovolný bod X na přímce třeba pomocí parametru t
2. uvážit odchylku vektorů AX a směrového vektoru přímky - položit ji rovnu 45 (135) stupňům a vyjdou možná t

EDIT: Druhá (početně snažší) možnost:
1. najít přímku q kolmou na p procházející A
2. tuto přímku otočit kolem A o +-45 stupňů - získám přímky q1 a q2
2.1 poznámka: kdyby úhel měl být třeba 30°, tak by se q točila o +-60°
3. najít průsečíky těchto přímek s p.

Rumburak

I. Pokud konstanta $c$ v rovnici přímky $p$ je volena tak, že $A \in p$ , pak zřejmě je nutné a stačí volit $R = A$ .
EDIT. Přímka procházející bodem $A=R\in p$ a splňující požadavek na odchylku jistě existuje (dokonce máme 2 takové přímky),
avšak nelze ji označit jako $AR$ , neboť dotyčné body ji neurčují.

II. V dalším předpokládejme, že konstanta $c$ je volena tak, aby $A \notin p$ .
Potom nutně bude $R \ne A$ , takže vektor $R-A$ bude nenulový, což potřebujeme k tpmu, aby následující postup byl korektní.

Nechť $R =[x,y]$ . Pro souřadnice tohoto bodu musí být splněna rovnice

(1) $x\.-\.2y\.+\.c \.=\.0$

přímky $p$ . Jejím směrovým vektorem je $\vec u \,=\,(2,1)$ .
Směrovým vektorem hledané přímky $q$ procházející dvěma různými body $A$ , $R$ je $\vec v \,=\,R-A\,=\,(x-2, y-4)$ .
Ten musí s vektorem $\vec u$ svírat úhel $\phi = 45^o$ .
Pro úhel $\phi$ svíraný vektory $\vec u$ , $\vec v$ máme vzorec

(*) $\cos \phi \,=\,\frac {\vec u \cdot \vec v}{|\vec u| \cdot |\vec v|}$ ,

což po dosazení dává

(2) $\frac{sqrt2}{2} \,=\,\frac {(2,1) \cdot (x-2, y-4)}{|(2,1)| \cdot |(x-2, y-4)|}$ .

Rovnice (1), (2) tvoří soustavu rovnic o dvou neznámých s parametrem $c$ , v druhé rovnici nutno ještě vyjádřit skalarní součin a velikosti vektorů
dle příslušných definic.

EDIT. Dostaneme 2 řešení. Ale jak navrhuje rychlejší kolega, lze postupovat i dalšími cestami. Také by se dalo využít faktu, že vzniklý trojúhelník
$RAR'$ bude rovnoramenný se základnou $RR'$ na přímce $p$ a s pravým úhlem při vrcholu $A$ .

DOPLNĚNÍ. Soustava (1),(2) dává, striktně vzato, pouze 1 řešení úlohy, neboť rovnice (2) obsahuje neznámé pod druhou odmocninou a umocnění
této rovnice na druhou není ekvivalentvní úpravou, čímž vznikne též "falešné" řešení této soustavy. Druhé řešení úlohy obdržíme tak, že místo
vektoru $\vec u$ použijeme v rovnici (*) vektor $-\vec u$ , tedy směrový vektor přímky $p$ opačně orientovaný než $\vec u$ . Místo rovnice (2)
pak dostaneme

(3) $\frac{sqrt2}{2} \,=\,-\frac {(2,1) \cdot (x-2, y-4)}{|(2,1)| \cdot |(x-2, y-4)|}$ ,

která v soustavě spolu s (1) dá druhé řešení (jímž je ono "falešné" řešení soustavy (1),(2)).
Rovnice (2), (3) lze vyjádřit společnou rovnicí

(4) $\frac{sqrt2}{2} \,=\,\frac {|(2,1) \cdot (x-2, y-4)|}{|(2,1)| \cdot |(x-2, y-4)|}$ ,

jejíž umocnění už JE ekvivelentní úpravou, takže obě řešení úlohy pak získáme z jediné soustavy (1), (4).

Matematické Fórum

#1 18. 09. 2009 15:39

Pomoc s metrickou úlohou

#2 18. 09. 2009 16:03 — Editoval musixx (18. 09. 2009 16:19)

Re: Pomoc s metrickou úlohou

#3 18. 09. 2009 16:28 — Editoval Rumburak (19. 09. 2009 11:52)

Re: Pomoc s metrickou úlohou

Zápatí