Matematické Fórum

redhott · 20. 09. 2009 16:10

Dobrý den,
potřeboval bych poradit s příkladem: Dokažte matematickouindukcí: pro každé celé číslo n větší rovno 3 platí: 3^n>n^3. Mockrát děkuji

Oxyd · 20. 09. 2009 16:24 — Editoval Oxyd (20. 09. 2009 16:27)

Inu a zkoušel si to sám? Pokud ano, ukaž kam ses dostal a kde ses zasekl, ať víme, co přesně ti není jasné.

Jinak, matematická indukce v tomhle případě se udělá zhuba takhle: V prvním kroku ověříme, že to platí pro n=3. V indukčním kroku předpokládáme, že n > 3 a nerovnost platí pro n-1 a dokážeme ji pro n -- nejlépe tak, že nerovnost nějak pomocí pravidel o počítání s mocninami upravíme do tvaru, kde se vyskytne n-1, na tuhle část pak použijeme indukční předpoklad (to jest, tu dokazovanou nerovnost) a pak by se to mělo dát upravit do požadovaného tvaru.

Edit: Ta nerovnost zřejmě má být $3^n \ge n^3$ , že? Větší nebo rovno místo ostré nerovnosti.

jarrro · 20. 09. 2009 16:41 — Editoval jarrro (14. 06. 2015 11:29)

ostrá nerovnosť platí pre n väčšie ako tri.ja by som to dokazoval takto $3^4>4^3\nl81>64$
nech
$3^n>n^3\nl3^{\left(n+1\right)}>3n^3$
teraz stačí ukázať,že pre n viac ako 4 je
$$n+1$^3<3n^3$
to sa dokáže
$n^3+3n^2+3n+1<3n^3\nl 2n^3-3n^2-3n-1>0\nl$n-1$^3+n^3+6n>0$