Matematické Fórum

check_drummer · 24. 09. 2009 23:02

Ahoj,
platí následující hypotéza? Pro libovolná prvočísla p a q existují přirozená čísla k a n tak, že: $|p^k - q^n| <= 2$ a pokud ano, existuje takových k a n nekonečně mnoho?
Pokud věta neplatí, existuje nějaký protipříklad?
Díky

Olin · 25. 09. 2009 00:15

Trocha úvah:
Ten rozdíl bude nulový pouze tehdy, když bude p=q (to je jasné). Dále bude moct nabývat jedničky pouze tehdy, když bude jedno z prvočísel dvojka. Pokud se bude jednat o dvě různá lichá prvočísla, pak jejich rozdíl (i jejich mocnin) nemůže být menší než 2.

Budeme-li mít 2 prvočísla ve tvaru 6k+1, pak jejich rozdíl (i jejich mocnin) bude nejméně 6, protože umocněním opět vznikne číslo ve tvaru 6k+1. To je protipříklad. Konkrétní takovou dvojicí může být třeba 7 a 13.

Kondr · 25. 09. 2009 00:53

Nechť p=2 a q=3. Zřejmě $2^1-3^1=2^3-3^2=-1$ a $2^2-3=1$ . Snadno ověříme, že toto jsou pro malá $k$ jediná vyhovující $n$ . Pro vyšší k je $2^k\equiv 0\pmod{8}$ a proto $-3^n\in \{1,-1\} \pmod{8}$ . Snadno ověříme, že možnost nepřichází v úvahu ani pro lichá ani pro sudá n, druhá možnost projde pouze pro sudá. Naopak uvážením mod 9 dostáváme, že k=3t. Řešíme proto $8^t-9^u=-1$ . Nejsem si jistý, jestli je to správná cesta, ale myslím, že jsem někde viděl důkaz, že pro větší k už žádné n nenajdeme, takže check_drummerova hypotéza neplatí.

check_drummer · 25. 09. 2009 22:21

Díky za nápady. A co kdybychom dvojku na pravé straně poněkud pozměnili, např. zkoumaný výraz by měl tvar (při zachování ostatních uvedených podmínek):
$|p^k - q^n| <= d|p-q| + c$
kde úkolem je najít co nejmenší dvojici (d,c) reálných čísel - uspořádání dvojic uvažujeme lexikograficé - aby pro všechna p,q (spolu s platností ostatních podmínek úlohy) platila uvedená nerovnost (resp. uvést množinu dvojic (d,c), pro které nerovnost platí), případně ukázat, že žádná taková (d,c) neexistují.

Matematické Fórum

#1 24. 09. 2009 23:02

Blízkost mocnin prvočísel

#2 25. 09. 2009 00:15

Re: Blízkost mocnin prvočísel

#3 25. 09. 2009 00:53

Re: Blízkost mocnin prvočísel

#4 25. 09. 2009 22:21

Re: Blízkost mocnin prvočísel

Zápatí