Matematické Fórum

Wosush · 25. 09. 2009 22:09

Dokažte:

$1+2\times5+3\times5^2+4\times5^3+...+n\times5^{n-1}\le \frac {n}{4}\times5^n$

Dík za pomoc.

check_drummer · 25. 09. 2009 22:26

Tychi · 25. 09. 2009 22:31 — Editoval Tychi (25. 09. 2009 22:33)

Jestli si to ještě pamatuju, tak to bude nějak takhle:
V prvním kroku je potřeba zjistit, zda výraz platí pro n=1, čili $1\le \frac 1 4 \times 5^1$ , což zřejmě platí.
V druhém kroku předpokládáme, že výraz platí pro n a dokážeme, že platí i pro n+1
čili $1+2\times5+3\times5^2+4\times5^3+...+n\times5^{n-1}\le \frac {n}{4}\times5^n$ platí

$1+2\times5+3\times5^2+4\times5^3+...+n\times5^{n-1}+(n+1)\times5^n\le \frac {n}{4}\times5^n +(n+1)\times 5^n=$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Už jsem nějaký ten rok nic nedokazovala, tak se mohlo stát, že jsem si to nějak zjednodušila a nevím o tom..

Wosush · 25. 09. 2009 22:56 — Editoval Wosush (25. 09. 2009 22:57)

↑ Tychi:
Ano pamatujete si to dobře, já jenom nevím za pomoci jakých ekvivalentních úprav jste se dostala od výrazu $1+2\times5+3\times5^2+4\times5^3+...+n\times5^{n-1}+(n+1)\times5^n\le \frac {n}{4}\times5^n +(n+1)\times 5^n$ ku konečnému výrazu $\frac{n+1}{4}\times 5^{n+1}-\frac 1 4\times5^n\le \frac{n+1}{4}\times 5^{n+1}$ .
Mohla by jste mi to popsat blize?

Tychi · 25. 09. 2009 23:00

↑ Wosush:
tak tedy mezikrok, převedení na společného jmenovatele, úprava a roztržení
$=\frac{5n+4}{4}\times 5^n=\frac{5n+5-1}{4}\times 5^n=\frac{n+1}{4}\times 5 \times 5^n-\frac{1}{4}\times 5^n$
Věřím, že takhle to stačí.

Matematické Fórum

#1 25. 09. 2009 22:09

Matematická indukce?

#2 25. 09. 2009 22:26

Re: Matematická indukce?

#3 25. 09. 2009 22:31 — Editoval Tychi (25. 09. 2009 22:33)

Re: Matematická indukce?

#4 25. 09. 2009 22:56 — Editoval Wosush (25. 09. 2009 22:57)

Re: Matematická indukce?

#5 25. 09. 2009 23:00

Re: Matematická indukce?

Zápatí