Matematické Fórum

beliqar

zdravím,, vůbec nevím , neměl jsem na střední komplexní čísla nejspíš zabrždění učitelé aspon teda myslím že to je ono,,, mám vypočítat tretí odmocninu ze z
chtěl bych spíše pomoct s postupem,, myslím že musím vypočítat $|z|= sqrt {a^2+b^2}$ potom $z= |z|*(cos a + i* sin a)$
$z = \frac {(2+3i)^2}{1-i} \ * i^5 + \frac {i^4-3i^5-3i^2}{i^3+1}\$ - vysledek vyjádřit v algebraickém tvaru

popř doporučit nějakou knihu či scripta či něco takového , kde jsou i matice atd.. protože mám tady i

Najděte spektrální rozklad matice

-1 -1 -1
-1 -2 0
-1 0 -2

díky moc

Kondr · 25. 09. 2009 20:06 — Editoval Kondr (25. 09. 2009 20:33)

Základy LA zde: ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/linal.pdf
Spektrální rozklad tu: http://vondrak.am.vsb.cz/LA-IT/Practices/lacv14.pdf

K těm komplexním číslům: jak s nimi pracovat se dočteš tady http://cs.wikipedia.org/wiki/Komplexní číslo, tak zkus aspoň to číslo převést do algebraického tvaru. Odmocninu ze $z=x+yi$ pak spočítáš z Moivreovy věty.

beliqar · 25. 09. 2009 20:09

↑ Kondr:
díky a to se teda nepočítá jak jsem napsal výše ? měl bych správně dostat 3výsledky né ?

beliqar · 25. 09. 2009 20:12

ted se dívám na ten link s těma komplexníma,, tak tedy ty ička bych měl nahradit -1 +1 atd ? někde to mám zapsané jak to je ,, jde mi o to abych to pochopil ,,

Kondr · 25. 09. 2009 20:34

↑ beliqar:Promiň, asi jsem přehlédl slovo "třetí". Jak jsi to uvedl je to správně: převede se to do goniometrického tvaru, v něm se to odmocní a pak se to převede zpět. Vyjdou opravdu 3 výsledky.

↑ beliqar:i za nic nahradit nemůžeš, pouze využij rovnost $i^2=-1$ . Samotné i je něco jako $\sqrt{-1}$ , ikdyž tento zápis není přesný.

beliqar

↑ Kondr:
no a to by mělo pokračovat nějak né ? $i^3 = -i , i^4 = 1 , i^5=i$ mám pravdu nebo né? jsem mimo školu rok a pul tak mi to moc nejde

je ta úprava dobře ?

$z = \frac {(2+3i)^2}{1-i} \ * i^5 + \frac {i^4-3i^5-3i^2}{i^3+1}\$
$z = \frac {4+6i+6i+9i^2}{1-i} \ * i^5 + \frac {i^4-3i^5-3i^2}{i^3+1}\$
$z = \frac {12i-5}{1-i} \ * i + \frac {4-3i}{1-i}\$

a ted nevím přesně ,,,

mám pokračovat takhle ?
$z = \frac {(12i-5)*(1+i)}{(1-i)*(1+i)} \ * i + \frac {(4-3i)*(1+i)}{(1-i)*(1+i)}\$

jeslti jo tak potom

$z = \frac {7i-17}{1^2+i^2} \ * i + \frac {7+i}{1^2+i^2}\$

a tohle mám udělat ?

$z = \frac {7i-17}{0} \ * i + \frac {7+i}{0}\$ nebo to mám tak nechat ? ale když se to dělí nulou tak to potom nejde né ?

kdyby tě to náhodou rozesmálo, tak se nebudu divit :) já nemohl vypočítat normální ty komplexní čísla když jsem to viděl poprvé tak cca týden zpět a oni mi dají takový projekt už :)

jelena · 25. 09. 2009 21:59

Zdravím,

od slova "teď nevím přesně..." je lepší pokračovat tak:

$z = \frac {(12\mathrm {i}-5)\cdot \mathrm {i} }{1-\mathrm {i}} + \frac {4-3\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\$

pak to dej ke společnému jmenovateli a až poté usměrniš jmenovatel. Je to srozumitelné?

jelena · 25. 09. 2009 22:01

↑ beliqar: v jmenovateli nebude nula po usměrnění, ale 2, jelikož platí užitečný vzorec 2.1

beliqar

↑ jelena:
díky díky,, ale jenom mi stručně řekni proč :))) abych věděl proč to dělám

takže podle toho bych měl
$z = \frac {12i^2-5i+4-3i}{1-i}\$
$z = \frac {-8-8i}{1-i}\ * \frac {1+i}{1+i}\$
$z = \frac {-8-8i-8i-8i^2}{1^2-i^2}\$
$z = \frac {-16i}{1^2-i^2}\$

myslíš takhle ? a ten spodek udělám takhle nebo to nechám ?

$z = \frac {-16i}{2}\$
$z = -8i$ <<<<tohle je z ??? takže to je $|z|= \sqrt (0-8^2)=+8 \$ <<<takže tohle je abs z ? oprava -- jsem uplně zmatený dneska

jelena · 25. 09. 2009 22:19 — Editoval jelena (25. 09. 2009 22:25)

↑ beliqar: stručně - co proč? Protože je to menší počet operací, vedoucí ke se stejnému výsledku, jako tvoje úprava - což by budoucího IT mělo zajimat nejvíce. Nebo jiné "proč"?

v 2. řádku se má ze stejného důvodu vytknout (-8), ale to je detail. Výsledek pro z=-8i je v pořádku (snad). Absolutní hodnota nemůže být záporné číslo.

Výsledek je v pořádku, děkuji informatikum :-)

beliqar

↑ jelena:
jojo jasně,, já jsem z matiky měl vždycky dobré známky a všechno jsem chápal,, ale jsem mimo školu cca rok a půl a měl jsem jiné starosti -- tak se snažím dostat do starých kolejí,, přece jenom když to nepoužíváš tak to zapomeneš že ano,, ale každou chybou co mě opravujete si znova obnovuju znalosti a za to díky ..

jelena · 25. 09. 2009 22:28

↑ beliqar: Ano, ano - však se snažíme, zdravím kolegu Kondra :-)

(přidala jsem edit do svého příspěvku - strojové ověření) Tak pokračuj, ať se vede.

beliqar

-takže výsledky by mělly být

$z1= 8*( \text {cos} \frac {\pi}{6}\ +i*\text {sin} \frac {\pi}{6})\$
$z2= 8*( \text {cos} \frac {5\pi}{6}\ +i*\text {sin} \frac {5\pi}{6})\$
$z3= 8*( \text {cos} \frac {7\pi}{6}\ +i*\text {sin} \frac {7\pi}{6})\$

hhhh to už jsem zmatený :))

ještě to převedu do alg. tvaru

Kondr · 25. 09. 2009 22:41 — Editoval Kondr (25. 09. 2009 22:42)

↑ beliqar:Zapoměl jsi odmocnit tu absolutní hodnotu. Navíc argument je $-\pi/2$ a ne $\pi/2$ , takže výsledky jsou
$z1= 2*( \cos \frac {-\pi}{6} +i\sin \frac {-\pi}{6})$
$z1= 2*( \cos \frac {3\pi}{6} +i\sin \frac {3\pi}{6})$
$z1= 2*( \cos \frac {7\pi}{6} +i\sin \frac {7\pi}{6})$
(nevím, co byl překlep a co výpočetní chyba, tak to nebudu hlouběji komentovat, kdyžtak se zeptej. Každopádně i má být u sinu.)

↑ jelena:Taky zdravím :o)
---
Kongo kanady a khaki kabát, dobytčák trambus a už chci padat, za zády chci nechat město svý, no to se ví!

beliqar

↑ Kondr:

no tak $|\sqrt[3]z|= \sqrt[3] (0-8^2)= \sqrt[3]64 = 4$
a zase blbý dotaz,,, proč to je $-\pi/2$ :))

v jednotkové kružnici by to mělo být $3\pi/2$ jako že to je na ose x = 0 takže střed a na ose y = -8 tzn dole mezi 3 a 4 kvadrantem né ?

beliqar

tohle by měl být ten algebraický tvar né ?

$z1= \sqrt[3]8*( \text {cos} \frac {\pi}{2}\ +i*\text {sin} \frac {\pi}{2})\$ >>>>> $z1= 2*(0 + 1i)\$ >>>>> $z1=2i\$
$z2= \sqrt[3]8*( \text {cos} \frac {7\pi}{6}\ +i*\text {sin} \frac {7\pi}{6})\$ >>>>> $z2= 2*(-\frac {\sqrt 3}{2}\ - \frac {1}{2}i)\$ >>>>> $z2=-\sqrt 3 - i\$
$z3= \sqrt[3]8*( \text {cos} \frac {11\pi}{6}\ +i*\text {sin} \frac {11\pi}{6})\$ >>>>> $z3= 2*(\frac {\sqrt 3}{2}\ -\frac {1}{2}i)\$ >>>>> $z3=\sqrt 3 - i\$

Takže tohle by měly být výsledky

Kondr · 25. 09. 2009 23:30

↑ beliqar:To sice jo, ale $|\sqrt[3]{z}|=\sqrt[3]{|z|}=\sqrt[3]{8}=2$ . Jinak $3\pi/2$ a $-\pi/2$ jsou dva způsoby vyjádření téhož. Pro $3\pi/2$ je pak argument třetí odmocniny $\frac{3\pi/2+2k\pi}3=\pi/2+\frac{2k}{3}\pi=\frac{3+4k}6\pi$ . Kontrola: mezi výsledky musí být 2i.

beliqar

↑ Kondr:
jo jasně to vypočítám a pak jsem to zapomněl udělat v tom z1-3 ,, já myslel že to mám udělat přímo tu třetí jak jsem počítal |z|

jo takhle takže když budu mít 4odmocninu tak budu mít zase $|\sqrt[4]{z}|=\sqrt[4]{|z|}=\sqrt[4]{8}=1,6...:)$ popř... $|\sqrt[n]{z}|=\sqrt[n]{|z|}=\sqrt[n]{z}=x$ ,,, takže opraví tu dvojku a mám to,,, viz výše a řekni pls jestli ok konečně :) už jsem z toho nanervy :))

btw $\frac{3\pi/2+2k\pi}3=\pi/2+\frac{2k}{3}\pi=\frac{3+4k}6\pi$
to $k$ se bere 0,1,2..n ?

akorát tu kontrolu co si napsal moc nechápu to 2i

Kondr · 26. 09. 2009 00:06

1) S tou absolutní hodnotou -- v principu to asi chápeš, akorát $\sqrt[4]{8}=1.681...$
2) to k se bere 0,1,2 (pro n-tou odmocninu 0,1,...,n-1). Mohlo by se brát i vyšší, ale pak by vycházela znovu ta stejná čísla.
3) s tou kontrolou jsem to myslel tak, že lehce ověříme, že $(2i)^3=8i^3=-8i$ . Proto po převedení do algebraického tvaru musí jeden z výsledků být 2i.

Už je to jasné?

---
Vždyť já jsem volnej jako pták, jezdím jen tak pod širák, s kompasem a s buzolou, hvězdy nad hlavou mi žhnou.

beliqar

↑ Kondr:

Takže konečně správný výsledek by měl být tenhle .... ještě si to přečtu celé atd... popř. mi řekni jestli to je správně ale podle ověření co jsi psal určitě (btw jak to ověřím ještě na ty ostatní ? to asi ověřím jedině když mi výjde "z" určíté číslo že ? např těch 8,,, popř kdyby byla 4 a byla to druhá odmocnina, tak jeden z výsledku by byl 2 ??? )) a celkem to chápu na to že jsem to bral cca 2h :))) a mnohokrát díky za ochotu a tvůj čas :)

$z1= \sqrt[3]8*( \text {cos} \frac {\pi}{2}\ +i*\text {sin} \frac {\pi}{2})\$ >>>>> $z1= 2*(0 + 1i)\$ >>>>> $z1=2i\$
$z2= \sqrt[3]8*( \text {cos} \frac {7\pi}{6}\ +i*\text {sin} \frac {7\pi}{6})\$ >>>>> $z2= 2*(-\frac {\sqrt 3}{2}\ - \frac {1}{2}i)\$ >>>>> $z2=-\sqrt 3 - i\$
$z3= \sqrt[3]8*( \text {cos} \frac {11\pi}{6}\ +i*\text {sin} \frac {11\pi}{6})\$ >>>>> $z3= 2*(\frac {\sqrt 3}{2}\ -\frac {1}{2}i)\$ >>>>> $z3=\sqrt 3 - i\$

Kondr · 26. 09. 2009 00:25

↑ beliqar:Jo, to potvrdí i stroj. Rád jsem pomohl a musím podotknout, že tato diskuse vedla k výsledku hlavně díky Jeleně (já jsem čím dál línější upravovat takovéhle výrazy).

----
Jenom chleba kus a huspeninu, jako Robinson na pevninu, Tak já pospíchám hledat dětství svý. No to se ví!

beliqar

↑ Kondr:
jj to ti věřím,, jenom jak to vidíš ty základní chyby tak se musíš u pc převracet :)

později budu pokračovat s tou matici :) podívám se na ty linky co si mi poslal popř. kdybych si nevěděl rady napíšu sem :) u jiné už jsem počítal převod do LU a prostě nevycházelo mi to ,, točil jsem se stále dokola..

0 2 1 1 0 0 ____ 0 2 1 1 0 0 ____
1 1 0 0 1 0 ____ 1 1 0 0 1 0_____
2 1 3 0 0 1 +(-2)r2::::: 0 -1 3 0 -2 1 ____

ted jsem se dočetl že to můžu přehazovat sloupce takže to zkiusím ,, a další ,,měl jsem si místo ř1 radš dát ř2 nebo tady když mám 0první a dávám to do LU nevadí? nebo to je stejné a měl bych si převést a11 na nenulovou že ? :))

jelena · 26. 09. 2009 00:45 — Editoval jelena (26. 09. 2009 08:59)

↑ beliqar:

Ten projekt snad máte na celý semestr, ne? Nech to alespoň na zítřek - zatím si čti.

↑ Kondr: děkuji, ale také už mi ubývá síl... Máme tedy vyřešeno 1/2 z 60- úplně dole na strance v LA pro IT.

"Ostatní se bez toho musejí obejit, protože tenhle šotek chce, abych se s ním vydala na cestu do světa, sama jako pouštní vítr nebo pěnkava."
"Ne, ne, ne! zvolal jsem se snadno pochopitelným znepokojením. "tak jsem to vůběc nemyslel!"
"Tak tedy jako mořský orel."

Kondr · 26. 09. 2009 01:38

↑ beliqar:Jak píšou na Wiki: An invertible matrix admits an LU factorization if and only if all its leading principal minors are non-zero. A to zde splněno není, už první minor je nula.

---
OT: doufám, že odkaz na zadání (zejména pátý příklad v DU) tu nenajde Halogan nebo jiný z typograficky citlivějších kolegů. :)

beliqar · 26. 09. 2009 09:07

↑ Kondr:
hh edit

Matematické Fórum

#1 25. 09. 2009 19:14 — Editoval beliqar (26. 09. 2009 10:29)

LA pro IT

#2 25. 09. 2009 20:06 — Editoval Kondr (25. 09. 2009 20:33)

Re: LA pro IT

#3 25. 09. 2009 20:09

Re: LA pro IT

#4 25. 09. 2009 20:12

Re: LA pro IT

#5 25. 09. 2009 20:34

Re: LA pro IT

#6 25. 09. 2009 20:57 — Editoval beliqar (26. 09. 2009 10:30)

Re: LA pro IT

#7 25. 09. 2009 21:59

Re: LA pro IT

#8 25. 09. 2009 22:01

Re: LA pro IT

#9 25. 09. 2009 22:09 — Editoval beliqar (25. 09. 2009 22:23)

Re: LA pro IT

#10 25. 09. 2009 22:19 — Editoval jelena (25. 09. 2009 22:25)

Re: LA pro IT

#11 25. 09. 2009 22:24 — Editoval beliqar (25. 09. 2009 22:25)

Re: LA pro IT

#12 25. 09. 2009 22:28

Re: LA pro IT

#13 25. 09. 2009 22:30 — Editoval beliqar (25. 09. 2009 23:27)

Re: LA pro IT

#14 25. 09. 2009 22:41 — Editoval Kondr (25. 09. 2009 22:42)

Re: LA pro IT

#15 25. 09. 2009 22:48 — Editoval beliqar (25. 09. 2009 23:39)

Re: LA pro IT

#16 25. 09. 2009 23:14 — Editoval beliqar (26. 09. 2009 00:12)

Re: LA pro IT

#17 25. 09. 2009 23:30

Re: LA pro IT

#18 25. 09. 2009 23:37 — Editoval beliqar (26. 09. 2009 00:11)

Re: LA pro IT

#19 26. 09. 2009 00:06

Re: LA pro IT

#20 26. 09. 2009 00:15 — Editoval beliqar (26. 09. 2009 00:27)

Re: LA pro IT

#21 26. 09. 2009 00:25

Re: LA pro IT

#22 26. 09. 2009 00:28 — Editoval beliqar (26. 09. 2009 00:42)

Re: LA pro IT

#23 26. 09. 2009 00:45 — Editoval jelena (26. 09. 2009 08:59)

Re: LA pro IT

#24 26. 09. 2009 01:38

Re: LA pro IT

#25 26. 09. 2009 09:07

Re: LA pro IT

Zápatí