Matematické Fórum

katuska333 · 26. 09. 2009 19:32

Zdravím, dostala sem za ukol tento příklad: Určete průnět vektoru u=10a+2b do vektoru v=5a-12b, kde vektor a a vektor b jsou jednotkové k sobě kolmé vektory. Vím, že to mám počítat pomocí sklárního součinu, ale jakmile do jmenovatele dostanu absolutní hodnotu vektou (neboli jeho velikost) netuším co s tím. Díky za pomoc sem z toho už zoufalá :-(

lukaszh · 27. 09. 2009 11:20

↑ katuska333:
Kolmý priemet vektora u do vektora v je
$\mathbf{p}=\frac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\cdot\mathbf{v}$

katuska333 · 27. 09. 2009 13:27

Zkusíte to prosím někdo spočítat? má to vyjít: 2/3 (5a-12b) a já vubec netuším jak se k tomu dostat. Když mám v čitateli skalární součin.. jak ho dopočítám, když jsou ty vektory zadané takto??? jak to vyjádřím??

lukaszh · 27. 09. 2009 16:15

↑ katuska333:
Mne vyšiel iný výsledok. Vezmi si ľubovoľné dva ortonormálne vektory $\mathbf{a},\mathbf{b}$ . Vychádzam zo vzťahu
$\mathbf{p}=\frac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle}\cdot\mathbf{v}$

(1) Skalárny súčin v čitateli
Pre skalárny súčin platí niečo takéto $\langle A+B,C\rangle=\langle A,C\rangle+\langle B,C\rangle$ . Možno to teda prepísať takto

Teda sa to rozložilo na niekoľko skalárnych súčinov. Teraz si treba uvedomiť, že skalárny súčin dvoch kolmých vektorov je 0. Teda prostredné dva orámované skalárne súčiny sú nuly. Teraz využijem, že
$\langle A,B\rangle=||A||\cdot||B||\cdot\cos\varphi$
kde $\varphi$ je uhol, ktorý A,B zvierajú. V tomto prípade sú vektory rovnobežné, teda uhol je 0 => cos(0)=1
$\langle 10\mathbf{a},5\mathbf{b}\rangle=||10\mathbf{a}||\cdot||5\mathbf{a}||\cdot1=10||\mathbf{a}||\cdot5||\mathbf{a}||=50\nl \langle 2\mathbf{b},-12\mathbf{b}\rangle=||2\mathbf{b}||\cdot||-12\mathbf{b}||\cdot1=2||\mathbf{b}||\cdot(-12)||\mathbf{b}||=-24$
Vektory a,b sú jednotkové, ich norma je 1. Celkovo je teda
$\langle10\mathbf{a},5\mathbf{a}\rangle+\langle2\mathbf{b},-12\mathbf{b}\rangle=50-24=26$

(1) Skalárny súčin v menovateli
Rovnakým spôsobom sa spočíta skalárny súčin v menovateli

Hľadaná projekcia je podľa mňa
$\mathbf{p}=\frac{26}{169}\cdot(5\mathbf{a}-12\mathbf{b})=\frac{2}{13}\cdot(5\mathbf{a}-12\mathbf{b})$

katuska333 · 27. 09. 2009 21:06

omlouvám se, máš to správně, mně z výsledku vypadla 1... ale přesto bych měla ještě dotázek, tento postup chápu, nám však ve skritech píšou něco jiného. ve jmenovteli mám součin dvou vektorů v, ale ne skalární součin, ale je to součin dvou velikostí vektoru v.. a to takhle přece počítat nejde, nebo ano??

lukaszh · 28. 09. 2009 17:20

↑ katuska333:
To máš to isté.
$\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\rangle=||\mathbf{x}||^2=||\mathbf{x}||\cdot||\mathbf{x}||$

Matematické Fórum

#1 26. 09. 2009 19:32

skalární součit a průnět vektorů

#2 27. 09. 2009 11:20

Re: skalární součit a průnět vektorů

#3 27. 09. 2009 13:27

Re: skalární součit a průnět vektorů

#4 27. 09. 2009 16:15

Re: skalární součit a průnět vektorů

#5 27. 09. 2009 21:06

Re: skalární součit a průnět vektorů

#6 28. 09. 2009 17:20

Re: skalární součit a průnět vektorů

Zápatí