Matematické Fórum

paty · 29. 09. 2009 18:17

Mám tu ďalší príklad, s ktorým mám problém, nie je veľmi zložitý, avšak neviem naň prísť.

V trojuholníku ABC , kde alfa= 30 ° , beta 60 ° a jota 90 °, polomer opísanej kružnice r=2,5.
Vypočítajte dĺžky jeho strán.

Tychi · 29. 09. 2009 18:22

jota u vás značí co?

Jan Jícha · 29. 09. 2009 18:26

Uhel jota znám akorát v použití v elektrotechnice.

Tychi · 29. 09. 2009 18:34 — Editoval Tychi (29. 09. 2009 18:35)

Paty tu není, tak budu předpokládat, že jde o chybu ve čtení řeckých písmen a myslela gammu.
Když si nakreslím trojúhelník ABC, který je zjevně pravoúhlý, označím S střed kružnice opsané, $S_b$ střed strany b, vznikne trojúhelník $SS_bC$ . Znám jeho úhly, znám velikost přepony, takže není problém dopočítat velikost odvěsen. Z nich pak už snadno určíme velikost stran trojúhelníku ABC.

Stačí ti to, paty? Nebo v zadání je skutečně nějaká jóta?

Chrpa · 29. 09. 2009 19:02 — Editoval Chrpa (30. 09. 2009 13:13)

↑ paty:
Protože se jedná o pravoúhlý trojúhelník (jeden jeho úhel je 90 stupňů)
Pak střed kružnice opsané tomuto trojúhelníku leží uprostřed přepony (Thaletova kružnice)
Přepona bude mít délku: $c=2r=2\cdot 2,5=5$
Pro poloměr kružnice opsané dále platí:
$r=\frac{a}{2\sin\,\alpha}=\frac{b}{2\cdot\sin\,\beta}=\frac{c}{2\cdot\sin\,\gamma}$ (když si dosadíš za $\sin\,90^\circ=1$ ) dospěješ k $r=\frac c2$
$\sin\,30^\circ=\frac 12\nl\sin\,60^\circ=\frac{\sqrt 3}{2}$
čili:
$2,5=\frac{a}{2\cdot\frac{1}{2}}\nla=2,5$
Stranu b vypočítáš pomocí Pythagorovy věty nebo opět pomocí:
$2,5=\frac{b}{2\cdot\frac{\sqrt 3}{2}}\nlb=2,5\cdot\sqrt 3$

Strany trojúhelníka budou: a = 2,5 b = 4,3301 c = 5

Obrázek: