Matematické Fórum

misak · 01. 10. 2009 14:28

Zdravím, mám za úkol dokázat, že n! << n^(2^n) (n! je asymptoticky menší než 2 na 2 na n-tou)

Moje počáteční úvaha je taková, že toho docílím pomocí limity. Abych měl co limitovat, vyjádřím si tuto rovnici pomocí Stirlingovy aproximace a upravím následně:
$n! << n^2^n$
$sqrt{2\pi n}\left(\frac n e \right)^n << n^2^n$
$sqrt{2\pi}\frac{n^{\frac1 2} n^n}{e^n} << n^2^n$
$sqrt{2\pi}\frac{n^{\frac1 2+n}}{e^n} << n^2^n$

Dále bych pokračoval nějakým způsobem limitou do nekonečna podílu prvního výrazu ku druhému. Ale než budu pokračovat touto pro mě docela náročnou úloh (pokud by to tedy vůbec šlo), chci se zeptat vás, zkušenějších, jestli to vůbec v tomto tvaru povede k cíli a jestli tím něco dokážu.

musixx · 01. 10. 2009 14:37 — Editoval musixx (01. 10. 2009 14:38)

A co takhle:

$n\leq n$
$n-1< n$
$n-2< n$
$\cdots$
z toho plyne $n!<n^n$ pro $n>1$ .

Dále $n<2^n$ (EDIT: využiju v exponentu). Proto $n!<n^n<n^{2^n}$ a je to (dokonce pro všechna $n$ ).

misak · 01. 10. 2009 17:58

To také není špatný nápad. Děkuju. Ale nám ve škole poradili, ať k tomu využijeme Stirlingovu formuli, tak nevím jestli by to uznali.

Matematické Fórum

#1 01. 10. 2009 14:28

Důkaz pomocí Stirlingovy formule

#2 01. 10. 2009 14:37 — Editoval musixx (01. 10. 2009 14:38)

Re: Důkaz pomocí Stirlingovy formule

#3 01. 10. 2009 17:58

Re: Důkaz pomocí Stirlingovy formule

Zápatí