Matematické Fórum

Alivendes · 30. 09. 2009 19:51

Zdravím,jak by se řešila takovahle posloupnost?
$sinx+sin2x+sin3x+....=1$ Dá se to vůbec spočítat jko nekonečná geometrická řada ?

Tychi · 30. 09. 2009 20:02

Geometrická řada to není, protože v ní prvek není konstantním násobkem předchozího. A řešení nechám na někom jiném, já řady nerada a mohla bych tě zavést špatným směrem.

Pavel Brožek

Řada pro $x\neq k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$ diverguje (není splněna nutná podmínka konvergence, limita členů totiž není nula - limita neexistuje), pro $x= k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$ je snad součet jasný (a není to jednička).

Alivendes · 30. 09. 2009 20:36

leze do minus nekonečna ?

Pavel Brožek · 30. 09. 2009 20:42

↑ Alivendes:

Ne, limita neexistuje, protože se členy posloupnosti stále pohybují v intervalu [-1,1], ale nekonvergují k nule. To by chtělo asi ještě nějak dokázat.

Marian · 30. 09. 2009 21:00

↑ BrozekP:
Osobně bych to dokazoval oklikou tak, že bych našel vzorec pro n-tý parciální součet (který je znám). Odtud by divergence plynula snadno.

Kondr · 01. 10. 2009 13:12

Jen doplním, že ten vzorec lze odvodit pomocí geometrické řady:
$sinx+sin2x+sin3x+....+sin(nx)=Im(e^{ix}+e^{2ix}+...+e^{nix})=Im(\frac{e^{(n+1)ix}-1}{e^{ix}-1})=Im(\frac{\cos ((n+1)x)+i\sin((n+1) x)-1}{\cos x+i\sin x-1})$

Marian · 01. 10. 2009 14:51

↑ Kondr:

Jen si nejsem jistý, jestli je technika, kt. využíváš, přípustná na SŠ. Předpokládám také možnost důkazu indukcí, ale nezkoušel jsem to nikdy tímto způsobem.

lukaszh · 01. 10. 2009 17:19

Podľa mňa by zadanie malo byť
$\sin^1x+\sin^2x+\sin^3x+\cdots=1$
:-)

Pavel Brožek · 01. 10. 2009 18:53

↑ lukaszh:

Nejspíš budeš mít pravdu. Tady je vidět, jak je důležité správně zapsat zadání. Vůbec mě tahle možnost nenapadla. :-)

Alivendes · 01. 10. 2009 19:12

tk ja sem si to vymyslel zadne zadani to nebylo,jen me zajimalo jestli se to da pocitat a jestli se tam da stanovit soucet...

Marian · 02. 10. 2009 13:35

↑ lukaszh:
Zkoumal jsem i tuto možnost, kt. je geometrické řadě mnohem blíže, ale po prostudování kódu v TeXu jsem to nepřipustil.

↑ Alivendes:
Součet samozřejmě existuje a vzorec se stanovit dá. Jak jsem však psal výše, váhám (neboť trpím velkým nedostatkem času), zda-li je možné najít nějakým snadným způsobem na úrovni SŠ takový součet. Nevylučuji takovou možnost.

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2009 19:51

Řada

#2 30. 09. 2009 20:02

Re: Řada

#3 30. 09. 2009 20:23 — Editoval BrozekP (30. 09. 2009 20:24)

Re: Řada

#4 30. 09. 2009 20:36

Re: Řada

#5 30. 09. 2009 20:42

Re: Řada

#6 30. 09. 2009 21:00

Re: Řada

#7 01. 10. 2009 13:12

Re: Řada

#8 01. 10. 2009 14:51

Re: Řada

#9 01. 10. 2009 17:19

Re: Řada

#10 01. 10. 2009 18:53

Re: Řada

#11 01. 10. 2009 19:12

Re: Řada

#12 02. 10. 2009 13:35

Re: Řada

Zápatí