Matematické Fórum

Supremum množiny (zde "množina" jsou všechny členy posloupnosti) je nejmenší horní závora té množiny. Horní závora je takový prvek (nemusí patřit do dotyčné množiny), pro který platí, že žádný prvek množiny není větší. Tedy supremum je takové číslo z množiny, že všechny prvky množiny jsou mu rovny nebo jsou menší (je to horní závora) a dále zmenším-li supremum o libovolně malé číslo, bude existovat prvek množiny větší než výsledek zmenšeného suprema (tzn. menší horní závora neexistuje). Pro shora neomezené množiny dodefinujeme supremum jako sup=nekonečno.
Maximum množiny je takový prvek z množiny, že všechny prvky dotyčné množiny jsou menší nebo rovny.
Z toho přímo vyplývá, že má-li množina maximum, supremum se mu rovná.
(Analogicky všechno platí pro infinum a minimum.)

Vypočítáš-li limitu svojí posloupnosti pro n jdoucí k nekonečnu, zjistíš, že limita=nekonečno. Tedy posloupnost není omezená (snadno zjistíš, že pro každé n0 najdeš n>n0, pro které bude a(n)>a(n0)), tedy posloupnost nemá maximum. Z toho také vyplývá, že supremum bude kladné nekonečno.

Pro minimum můžeš studovat funkci f(x)=x^2-13x+5 , jíž je poslouponost "určena" (-> pro každé x reálné a n přirozené platí, že platí-li x=n, platí také f(x)=a(n)). Minimum funkce f najdeš jako bod s nulovou první derivací (protože jako kvadratická funkce má jen jeden extrém a na obě strany jde funkce ke kladnému nekonečnu, tento jediný extrém je minimum).
Vyřešíš tedy f'(x)=2x-13=0. Výsledek je x=13/2   ... v tomto bodě má funkce f minimum. Na obou stranách tohoto bodu je f monotóní, tedy i posloupnost a je monotóní. Proto bude minimum posloupnosti buď a(6) nebo a(7)  (6 a 7 jsou dvě nejbližší celá čísla číslo 13/2 - a(6) a a(7) jsou nejbližší členy posloupnosti minimu funkce f). Snadno zjistíš, že a(6)=a(7)=-42. Proto je toto číslo minimem (a tedy i infinem) posloupnosti.

Doufám, že je vše jasné. Zní to složitě, ale není - stačí si představit a uvědomit, o co jde.
Při nejasnostech doporučuju prohlédnout wiki - hesla supremum/infimum, maximum/minimum, horní závora.