Matematické Fórum

Draffix · 06. 10. 2009 09:16

Zdravím, potřeboval bych poradit jak vypočítat tyto příklady a jak jste na ně přišli. Teď to bereme a já v tom trošku více plavu. Díky moc za výpomoc

1) $\int \frac{3x-4}{x^2-4}dx$

2) $\int ln(x^2+1)dx$

Tychi · 06. 10. 2009 09:27 — Editoval Tychi (06. 10. 2009 09:30)

1)Rozklad na parciální zlomky a poté integrace jednotlivých sčítanců.
$\int \frac{3x-4}{x^2-4}dx=\int \frac{\frac 52}{x+2}+\frac{\frac 12}{x-2}dx=\frac 52 \ln(|x+2|)+\frac 12\ln(|x-2|)$
2)Per partes, rozklad na parciální zlomky a pak integrace jednotlivých sčítanců.
viz. např Odkaz

Draffix · 06. 10. 2009 09:32

↑ Tychi:

Díky, mám ještě dvě otázky, nahoře ty 5/2 a 1/2 jsi udělal(a) jak z toho? A druhá, jak bys postupoval(a) dále? Jak jsem psal, trošku v tom plavu a potřeboval bych vidět krok za krokem jestli by to bylo možné, ale je to jen prosba. Každopádně díky moc za snahu.

Tychi · 06. 10. 2009 09:39 — Editoval Tychi (06. 10. 2009 09:43)

$x^2-4=(x-2)(x+2)$
Původní zlomek roztrhnu na součet dvou zlomků s prozatím neznámými čitateli A a B (tomu se říká rozklad na parciální zlomky).
$\frac{3x-4}{x^2-4}=\frac {A}{x+2}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B(x+2)}{(x-2)(x+2)}$
Z toho $Ax-2A+Bx+2B=3x-4$
Porovnáním koeficinetů rovnici vyřešíme
$x^1: A+B=3$
$x^0: -2A+2B=-4$
Z toho už A a B určíš jako 5/2 a 1/2.
Je to jasnější?

Co se druhého příkladu týče, zkus mi napsat, co je ti nejasné na postupu, který ti vyhodí MAW(viz předchozí odkaz), po zadání tvého zadání.

stenly · 06. 10. 2009 12:09 — Editoval Kondr (06. 10. 2009 13:22)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

stenly · 06. 10. 2009 12:19

Pro drafix:ten druhý integrál řeš metodou per partes ,kde ú=1.....u=x
v=ln(x^2+1).....v´=2x/(x^2+1)
Integrál řešíš tedy trikem se vsunutou jedničkou:Int.ú*v=u*v-Int.uv´.Výsledek má tvar:
F(x)=x*ln(x^2+1)-2*x+2*arctg(x)+C
STENLY

Draffix · 06. 10. 2009 13:51

chtěl jsem se zeptat, když zadám do maw tento příklad $\int ln(x^2+1)dx$ tak co je u a v'? Pokud je v' toto (x^2+1) tak jak mám zapsat to ln jako u? A když tam to u nezadám, tak mi to automaticky k němu hodí $\int \frac{ln(x^2+1)}{x^2+1}$ a to nevím odkud se vzalo...

Cheop · 06. 10. 2009 14:06

↑ Draffix:
Tady máš některé "Tabulkové integrály"
http://cs.wikipedia.org/wiki/Integr%C3% … gr.C3.A1ly
Ještě k metodě Per partes:
Máš-li integrál ve tvaru:
$\int u.v'\,dx$ pak integrace bude:
$\int u.v'\,dx=u.v-\int u'.v\,dx$

Máš-li integrál ve tvaru:
$\int u'.v\,dx$ pak integrace bude:
$\int u'.v\,dx=u.v-\int u.v'\,dx$

Draffix · 06. 10. 2009 14:11

jj díky moc, jen se chci ještě zeptat na ten stenlyho screen, jak udělal z $-2 \int \frac{x^2}{x^2+1}$ toto: $-2 \int 1dx + 2 \int \frac{1}{x^2+1}dx$ ?

Cheop · 06. 10. 2009 14:27 — Editoval Cheop (06. 10. 2009 14:43)

↑ Draffix:
Tady máš některé "Tabulkové integrály"
http://cs.wikipedia.org/wiki/Integr%C3% … gr.C3.A1ly
Ještě k metodě Per partes:
Máš-li integrál ve tvaru:
$\int u.v'\,dx$ pak integrace bude:
$\int u.v'\,dx=u.v-\int u'.v\,dx$

Máš-li integrál ve tvaru:
$\int u'.v\,dx$ pak integrace bude:
$\int u'.v\,dx=u.v-\int u.v'\,dx$

V našem případě tedy integrál:
$\int\ln(x^2+1)\,dx=\int 1\cdot\ln(x^2+1)\,dx$ a teď použijeme metodu per partes - tedy zvolíme:
$u'=1\nlv=\ln(x^2+1)$ potom:
$u=x$ je to vlastně integrál $\int 1\,dx$
$v'=\frac{2x}{x^2+1}$ je to vlastně derivace toho původního integrálu.
Dostaneme toto:
$\int\ln(x^2+1)\,dx=x\cdot\ln(x^2+1)-\int x\cdot\frac{2x}{x^2+1}\,dx=x\cdot\ln(x^2+1)-\int\frac{2x^2}{x^2+1}\,dx$ a pokračujeme už výpočtem integrálu: $\int\frac{2x^2}{x^2+1}\,dx$
Toto $\int\frac{2x^2}{x^2+1}\,dx$ můžeme přepsat na $\int \left(2-\frac{2}{x^2+1}\right)\,dx$ a to můžeme rozdělit na 2 integrály:
1) $2\int dx=2x$
2) $-2\int\frac{1}{x^2+1}\,dx=-2\,\rm{arctg}(x)$ = "tabulkový integrál"

Výsledek tedy bude:
$\int\ln(x^2+1)\,dx=x\cdot\ln(x^2+1)-2x+2\,\rm{arctg}(x)+C$
Doufám, že to takto stačí.

stenly · 06. 10. 2009 14:59

↑ Draffix:Zlomek x^2/(X^2+1) ,který mám integrovat jsem si napsal jako:(X^2+1-1)/(x^2+1) a roztrhl na dva parciální zlomky:(x^2+1)/(x^2+1)-1/(x^2+1). Je to jasné?Stenly.

Draffix · 07. 10. 2009 10:59

skvělý, fakt díky moc za pomoc, opravdu mi to moc pomohlo to pochopit, jen ještě poslední otázka k tématu, jak nebo podle čeho lze přepsat toto $\int\frac{2x^2}{x^2+1}\,dx$ na tohle $\int \left(2-\frac{2}{x^2+1}\right)\,dx$ ? Zbytek už mi je jasný. Tak ještě jednou dííky moc!

Tychi · 07. 10. 2009 11:04 — Editoval Tychi (07. 10. 2009 11:08)

$\frac{2x^2}{x^2+1}=\frac{2x^2+2-2}{x^2+1}=\frac{2x^2+2}{x^2+1}-\frac{2}{x^2+1}=2-\frac{2}{x^2+1}$
druhý krok je taková příprava na krácení, resp. to můžeš brát jako dělení mnohočlenů se zbytkem

Matematické Fórum

#1 06. 10. 2009 09:16

lehčí příklady s integrováním

#2 06. 10. 2009 09:27 — Editoval Tychi (06. 10. 2009 09:30)

Re: lehčí příklady s integrováním

#3 06. 10. 2009 09:32

Re: lehčí příklady s integrováním

#4 06. 10. 2009 09:39 — Editoval Tychi (06. 10. 2009 09:43)

Re: lehčí příklady s integrováním

#5 06. 10. 2009 12:09 — Editoval Kondr (06. 10. 2009 13:22)

Re: lehčí příklady s integrováním

#6 06. 10. 2009 12:19

Re: lehčí příklady s integrováním

#7 06. 10. 2009 13:51

Re: lehčí příklady s integrováním

#8 06. 10. 2009 14:06

Re: lehčí příklady s integrováním

#9 06. 10. 2009 14:11

Re: lehčí příklady s integrováním

#10 06. 10. 2009 14:27 — Editoval Cheop (06. 10. 2009 14:43)

Re: lehčí příklady s integrováním

#11 06. 10. 2009 14:59

Re: lehčí příklady s integrováním

#12 07. 10. 2009 10:59

Re: lehčí příklady s integrováním

#13 07. 10. 2009 11:04 — Editoval Tychi (07. 10. 2009 11:08)

Re: lehčí příklady s integrováním

Zápatí