Matematické Fórum

honza33 · 18. 01. 2008 16:42

Mohl by mi někdo pomoci s výpočtem tohoto příkladu? Vůbec netuším, co s tím mám dělat.

Všem moc děkuji.

Saturday · 18. 01. 2008 16:53

Nejdřív si zjednoduš výraz na pravé straně, pak stačí použít binomickou rovnici: http://cs.wikipedia.org/wiki/Binomick%C3%A1_rovnice

Výsledek dostaneš v goniometrickém tvaru, takže pak jen převedeš do algebraického

Zde je něco na podobné téma: http://matematika.havrlant.net/forum/vi … php?id=440

Pomohlo?

thriller · 18. 01. 2008 17:02

z mi vyslo -8i, tobe?

honza33 · 18. 01. 2008 17:40

Nad tím zjednodušením pravé strany jsem se právě zasekl, na nic nemůžu přijít :-(

thriller · 18. 01. 2008 17:59

$i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i$

$\frac{(2+3i)^2}{1-i} i^5 + \frac{i^4 - 3 i^5 - 3 i^2}{i^3 + 1} =\frac{4+12i-9}{1-i} i + \frac{1 -3i +3}{1- i} = \frac{-12 -5i +1 -3i +3}{1-i} = \frac{-8 -8i}{1-i} = -8 \frac{1+i}{1-i} \frac{1+i}{1+i} =-8 \frac{(1+i)^2}{1+1} = -4 2i = -8i$

honza33 · 18. 01. 2008 18:09

jak jsi přišel na to, že i^2=-i, i^3=-i, i^4=1 a i^5=i? Na to je nějaké pravidlo?

thriller · 18. 01. 2008 18:11

i^2 = -1 je definice, ostatni plyne z toho, treba
i^3 = i* i^2 = i * (-1) = -i
i^4 = i^2 * i^2 = (-1)(-1) = 1
atd..

honza33 · 18. 01. 2008 18:29

Aha, tak už mi to začíná být jasné.

a sqrt(z) = sqrt(-8i) je kolik?
sqrt(-8) = -2, ale jak tam do toho zamontuju to "i"?
napadlo mě to -8i rozložit na 8 * (-i) a když -i dle tvoji definice výš nahradím i^3, takže výsledek je -2i? Uvažuju správně, nebo je to zcestné? Díky

honza33 · 21. 01. 2008 08:42

Jsem z toho jelen, když počítám 3. odmocninu, tak bych prý měl dostat 3 výsledky. Jak na to?

Saturday · 21. 01. 2008 09:19

↑ honza33: Podívej se do toho odkazu v mém prvním příspěvku, je tam vyřešen jeden příklad, když pochopíš to, pochopíš i svůj příklad

honza33 · 21. 01. 2008 09:34

zkoumal jsem ten příklad z toho tvého odkazu, ale plavu v tom. Navíc ty tam počítáš z^3, já potřebuju sqr{3}(z), to se asi počítá jinak, ne?

Saturday · 21. 01. 2008 09:45

princip toho vypoctu je takovy, ze "hledas cisla, ktera po umocneni daji nejake komplexni cislo", vyuziva se Moivrovy věty. V množině R máš odmocninu z čísla jednoznačně danou u komplexních čísel ne, napr. patou odmocninou z nejakeho komplexniho cisla bude splnovat pet komplexnich cisel (kolikata mocnina tolik korenu rovnice)

honza33 · 21. 01. 2008 10:18

Moivreova věta zní:
(cos φ + i sin φ)^n = (cos nφ + i sin nφ)

dle příkladu z tvého odkazu jsem to dosadil takto:
(|z|(cos φ + i sin φ))^(1/3) = |8|(cos (1/3)П/2 + i sin (1/3)П/2)

Uvažuju správně?

Saturday · 21. 01. 2008 11:10

Ja bych to delal takhle:

(|a|(cos φ + i sin φ))^3 = |8|(cos 3П/2 + i sin 3П/2)

Poznamky:
- cislo "z" je napravo, ne vlevo v rovnici
- napravo je goniometricky tvar cisla -8i, nalevo je cislo, ktere po umocneni na treti ti da prave -8i
- z ukazaneho postupu vyplyva: ze nechces "z" odmocnovat, chces najit cisla takova, ktera po umocneni ti daji prave "z", proto na leve strane nemuze byt

honza33 · 21. 01. 2008 11:41

zkusil jsem to dopočítat a vyšlo mi to takhle:

(|a|(cos φ + i sin φ))^3 = |8|(cos 3П/2 + i sin 3П/2)
|a|^3 (cos 3φ + i sin 3φ) = |8|(cos 3П/2 + i sin 3П/2)

a^3 = 8
a = 2

3φ = 3П/2 + k 2П
φ = (3П/2 + k 2П) / 3

x1 = 2(cos П/2 + i sin П/2) = 2(0 + 1i) = 2i
x2 = 2(cos 7П/6 + i sin 7П/6) = 2(0 + 1i) = 2i
x3 = 2(cos 11П/6 + i sin 11П/6) = 2(0 + 1i) = 2i

Je možné, aby všechny 3 výsledky byly stejné? Je pravda, že těmi cos a siny si nejsem moc jistý. Díky

Saturday · 21. 01. 2008 11:47

cos 7П/6 = -sqrt(2)/2 ... atd.. Prostuduj si tabulku zakladnich uhlu (0,30,60,90) a urcovani jejich hodnot v jednotlivych kvadrantech

x1 je spravne ostatni jsou spatne

vysledky stejne byt nemohou, ve skutecnosti maji geometricky vyznam tvori pravidelne n-uhelniky v Guassove rovine

Mohu se optat na jake jsi skole? Popravde komplexni odmocninu jsme my brali uz na stredni skole, tak by me zajimalo, jak je to na jinych skolach.

honza33 · 21. 01. 2008 13:13

studuju dálkove 1. semestr elektrotechnické fakulty. Problém je, že toto je učivo střední školy (tudíž ve skriptech není) a já maturoval před 10 lety, takže většina znalostí už je pryč :-(

x2 = 2(cos 7П/6 + i sin 7П/6) = 2(1/2 + i{[sqr3] - 2} / 2) = ([sqr3]i) - 1
x3 = 2(cos 11П/6 + i sin 11П/6) = 2(1 + {1 + [sqr3]}i) = 2 + (2 + 2[sqr3])i

Je to tak správně?

Saturday · 21. 01. 2008 13:26

http://matematika.havrlant.net/goniometrie - toto by se mohlo hodit

Ty uhly jsou takto:

cos 7П/6 = -√3/2
sin 7П/6 = -1/2 (3. kvadrant, tzn. sinus je zaporny, zakladni uhel je 30°, ve tretim kvadrantu se zakladni uhel hleda takto: uhel-180°)

cos 11П/6 = √3/2 (ve tretim kvadrantu je kosinus kladny)
sin 11П/6 = - 1/2 (4. kvadrant, tzn. sinus je zaporny, zakladni uhel je 30°, ve ctvrtem kvadrantu se zakladni uhel hleda takto: 360°-uhel)

honza33 · 21. 01. 2008 13:34

Aha, takže správné výsledky jsou tyto:

x1 = 2(cos П/2 + i sin П/2) = 2(0 + 1i) = 2i
x2 = 2(cos 7П/6 + i sin 7П/6) = - 2√3/2 – i
x3 = 2(cos 11П/6 + i sin 11П/6) = 2√3/2 – i

Je to tak?

Saturday · 21. 01. 2008 14:14

ano

(jeste se daji zkratit dvojky ve vysledku x2 a x3, coz je detail)

honza33 · 21. 01. 2008 14:34

Díky moc za pomoc

Matematické Fórum

#1 18. 01. 2008 16:42

Algebraický tvar

#2 18. 01. 2008 16:53

Re: Algebraický tvar

#3 18. 01. 2008 17:02

Re: Algebraický tvar

#4 18. 01. 2008 17:40

Re: Algebraický tvar

#5 18. 01. 2008 17:59

Re: Algebraický tvar

#6 18. 01. 2008 18:09

Re: Algebraický tvar

#7 18. 01. 2008 18:11

Re: Algebraický tvar

#8 18. 01. 2008 18:29

Re: Algebraický tvar

#9 21. 01. 2008 08:42

Re: Algebraický tvar

#10 21. 01. 2008 09:19

Re: Algebraický tvar

#11 21. 01. 2008 09:34

Re: Algebraický tvar

#12 21. 01. 2008 09:45

Re: Algebraický tvar

#13 21. 01. 2008 10:18

Re: Algebraický tvar

#14 21. 01. 2008 11:10

Re: Algebraický tvar

#15 21. 01. 2008 11:41

Re: Algebraický tvar

#16 21. 01. 2008 11:47

Re: Algebraický tvar

#17 21. 01. 2008 13:13

Re: Algebraický tvar

#18 21. 01. 2008 13:26

Re: Algebraický tvar

#19 21. 01. 2008 13:34

Re: Algebraický tvar

#20 21. 01. 2008 14:14

Re: Algebraický tvar

#21 21. 01. 2008 14:34

Re: Algebraický tvar

Zápatí