Matematické Fórum

Mara321

Do pondělka mám za úkol vyřešit několik příkladů. A mezi nima je i jeden, se kterým si nevím rady, protože jsem kvůli nemoci zmeškal 2 hodiny lineární algeby...Mám toho těď docela hodně :-(
Tak nevim, jestli by se nenašel, kdo by mi mohl pomoct ? Budu vděčný..

Mara321 · 11. 10. 2009 15:59

Nikdo nepomůže? :-(

Asinkan · 11. 10. 2009 16:08

↑ Mara321:
Vyšel bych z definice lineárního vektorového prostoru a na něm zadefinovaných distributivních zákonů-jejich kombinace je to, co tam vidíš. Výhodnější je levá strana-4 operace. Pravá-5 operací.

Kondr · 11. 10. 2009 17:37

Co se týče důkazu, jen trochu upřesním: Pokud víme, že je $\mathbb{R}^{m\times n}$ je vektorový prostor, pak díky distributivitě máme
$\alpha(\beta A+\gamma C)=\alpha(\beta A)+\alpha(\gamma C)$ a díky asociativitě $\alpha(\beta A)+\alpha(\gamma C)=(\alpha\beta) A+(\alpha\gamma) C$ a jsme hotovi. Pokud se o tuto znalost opřít nemůžeme, porovnejme matice po prvcích. Prvek matice $A$ v i-tém řádku a j-tém sloupci budu značit $a_i,j$ , analogicky pro matici C.
Pro matici W na levé straně platí (pro lib. i,j) z definice násobení matice číslem:
$w_{i,j}=\alpha(\beta a_{i,j}+\gamma c_{i,j})$
Pro matici V na pravé straně platí (pro lib. i,j) z definice násobení matice číslem:
$v_{i,j}=(\alpha\beta) a_{i,j}+(\alpha\gamma) c_{i,j}$
Protože $w_{i,j}$ a $v_{i,j}$ jsou reálná čísla, můžeme u nich používat distributivitu a asociativitu jak jsme zvyklí:
$w_{i,j}=\alpha(\beta a_{i,j}+\gamma c_{i,j})=(\alpha\beta) a_{i,j}+(\alpha\gamma) c_{i,j}=v_{i,j}$
Matice nalevo a napravo se shodují ve všech prvcích, jsou proto shodné, tvrzení je dokázáno.

Co se týče efektivity, mám jiný názor než ↑ Asinkan:. Podle mě je "operace" násobení čísla číslem nebo sečtení dvou čísel, ne sčítání celých matic. Na levé straně provedeme celkem $4mn$ operací, na pravé jich bude $3mn+2$ , což je pro matice věší než $1\times 1$ výhodnější.