Matematické Fórum

rhinocort · 12. 10. 2009 23:59

Je daný potenciál: V(x)=D[exp(-2ax)-2exp(-ax)] ; D,a sú kladné konštanty. Integráciou je treba určiť explicitné riešenie x(t) pre E>0,E=0,E<0 , pričom E je celková energia telesa získaná súčtom potenciálnej energie v potenciáli V(x) a kinetickej energie. Navyše je treba určiť periódu kmitov pre E<0.

Dúfam, že zadanie je napísané zrozumiteľne a niekto mi bude vedieť pomôcť.

Pavel Brožek

Úloha vede na diferenciální rovnici

$m\ddot{x}=2aD$\textrm{e}^{-2ax}-\textrm{e}^{-ax}$$

Je problém dostat se k této rovnici nebo ji vyřešit?

(Nedaří se mi najít obecné řešení rovnice. Periodu bychom mohli dostat např. tak, že bychom v minimu potenciálu rozvedli potenciál do Taylorovy řady. Pomocí koeficientu u kvadrátu x bychom mohli určit periodu.)

rhinocort · 16. 10. 2009 16:28

V tom vztahu chyba celkova energia. Vychadza sa zo zakona zachovania celkovej mechanickej energie, teda E=V+T, kde V je potencialna eneria a T kineticka (nie V=T) energia. Cize sa k tej uvedenej rovnici je potrebne pridat kostantu E.
Problémom pre mna je hlavne spocitat integral, ktory vznikne, ked chcem vyjadrit x(t) a to hlavne pre nenulove energie. Dopocital som sa akurat ku x(t) pre nulovu energiu, ale pre nenulove vedie integral na substituciu, ktora dava nezmyselne vysledky.
Periodu kmitov spocitanu cez Taylorov rozvoj druheho stupna mam, ale ide o to, ze mam spocitat periodu kmitov aj z explicitneho vyjedrenia x(t), aby som mohol posudit na kolko ovplyvnilo zanedbanie vysledok (navyse Taylorov rozvoj v nule by fungoval len pre stavy z najnizsou energiou, ktore by boli viazane velmi blizko nuly ... akonahle by som povolil aj stavy, kde by mohla ist celkova energia k nule zo zápornej strany, tak v tom momente by mi Taylorov rozvoj druheho radu velmi nepomohol).

Pavel Brožek · 16. 10. 2009 20:25

↑ rhinocort:

Podle mě v tom vztahu celková energie nechybí. Celková energie se projeví v počátečních podmínkách. Tu rovnici jsem dostal snadno z Newtonova zákona, kde jsem sílu určil z derivace potenciálu (měl jsem chybu ve znaménku, už jsem ji opravil):

$F=-\frac{\textrm{d}V}{\textrm{d}x}=2aD(\textrm{e}^{-2ax}-\textrm{e}^{-ax})$

Ale neuvědomil jsem si, že známe integrál pohybu E. Řešit

$\dot{x}^2=\frac{2}{m}\[E-D$\textrm{e}^{-2ax}-2e^{-ax}$\]$

bude asi vážně jednodušší :-). Jde to přepsat na integrál

$t+C=\sqrt{\frac{m}{2D}}\int\frac{\textrm{e}^{ax}}{\sqrt{b\textrm{e}^{2ax}+2\textrm{e}^{ax}-1}}\,\textrm{d}x$ ,

kde jsem označil $b=\frac{E}{D}\in(-1,+\infty)$ . Ten integrál jsi teda asi vyřešil pro E=0, jestli to dobře chápu.

Myslím, že jsem se dostal i k explicitnímu řešení pro b<0, jen jsem tim popsal několik papírů, tak to budu muset dát dohromady (taky je možný, že tam mám chybu).

rhinocort · 16. 10. 2009 20:48

↑ BrozekP:

Skusal som to riesit aj pre E>0 a E<0 ... najdalej som sa dostal ked som najprv substituoval exp(ax)=y , potom som vyraz pod odmocninou upravil na stvorec aby som mohol dalej substiuovat a dostat arcsin alebo arccos pre E<0 a arcsinh alebo arccosh pre E>0 (pre E<0 urcite vyjde nejaka harmonicka funkcia, no najviac by sa mi asi pozdavalo riesenie s arcsinh alebo arccosh, lebo v tom pripade by teoreticky, ak by bola v argumente funkcie odmocnina mohlo vyjst komplexne cislo a tym ze by som pre E<0 bral do uvahy len realnu cast, tak by z toho mohol vzniknut kasicky sin alebo cos). ... to su zatial len moje predpoklady ako by to malo vyjst, ale zatial sa k tomu marne snazim prepracovat, lebo stale mi do cesty vojde nejaka nezmyselna podmienka, ktora vyplinie z postupu ... uz si neviem rady s tym

Pavel Brožek

Počítám pro záporné $b$ (tj. $E<0$ ).

$t+C=\sqrt{\frac{m}{2D}}\int\frac{\textrm{e}^{ax}}{\sqrt{b\textrm{e}^{2ax}+2\textrm{e}^{ax}-1}}\,\textrm{d}x=\nl =\frac1a\sqrt{\frac{m}{2D}}\int\frac{1}{\sqrt{by^{2}+2y-1}}\,\textrm{d}y=\frac1a\sqrt{-\frac{m}{2bD}}\int\frac{1}{\sqrt{(y-c_+)(c_--y)}}\,\textrm{d}y$

kde jsem si označil kořeny polynomu

$c_+=\frac{-1+\sqrt{1+b}}{b}\nl c_-=\frac{-1-\sqrt{1+b}}{b}$

(platí $c_+<y<c_-$ ).

Pokračuji v počítání integrálu, substituuji $u=\sqrt{\frac{c_--y}{y-c_+}}$ (zpětně $y=\frac{c_-+c_+u^2}{1+u^2}$ ):

$=\frac1a\sqrt{-\frac{m}{2E}}\int\frac{1}{(y-c_+)\sqrt{\frac{c_--y}{y-c_+}}}\,\textrm{d}y=\frac1a\sqrt{-\frac{m}{2E}}\int\frac{-2}{1+u^2}\,\textrm{d}u=\nl =-\frac1a\sqrt{-\frac{2m}{E}}\;\arctan\,u\nl$

Z toho vyjádřím $u$ a pak dopočítám $y$ a nakonec i $x$ :

$u=\tan$-a\sqrt{-\frac{E}{2m}}(t+C)$$

$y=\frac{c_-+c_+\tan^2$-a\sqrt{-\frac{E}{2m}}(t+C)$}{1+\tan^2$-a\sqrt{-\frac{E}{2m}}(t+C)$}$

$x(t)=\frac1a\cdot\ln\[\frac{c_-+c_+\tan^2$-a\sqrt{-\frac{E}{2m}}(t+C)$}{1+\tan^2$-a\sqrt{-\frac{E}{2m}}(t+C)$}\]$

To jsou řešení pouze na určitých intervalech (kvůli definičnímu oboru tangens). Když zlomek rozšířím druhou mocninou kosinu, tak se to hezky zjednoduší. Nechce se mi moc zdůvodňovat, proč to tak bude, ale věřil bych tomu, že se to tímto způsobem i správně slepí :-).

$x(t)=\frac1a\cdot\ln\[c_-\cdot\cos^2$-a\sqrt{-\frac{E}{2m}}(t+C)$+c_+\cdot\sin^2$-a\sqrt{-\frac{E}{2m}}(t+C)$\]$

Možná to ještě půjde zjednodušit.

Tipnul bych si, že pro $b>0$ bude postup téměř stejný, to už nechám na tobě.

Pavel Brožek

Tak pro $E>0$ to funguje podobně. Výsledek je složitější (asi to půjde zjednodušit, nepokoušel jsem se o to), takže si označím pomocnou funkci:

$p(t)=\frac{1+\textrm{e}^{-a\sqrt{\frac{2E}{m}}(t+C)}}{1-\textrm{e}^{-a\sqrt{\frac{2E}{m}}(t+C)}}=\coth$a\sqrt{\frac{E}{2m}}(t+C)$$

$x(t)=\frac1a\cdot\ln\[\frac{c_+\cdot p^2(t)-c_-}{p^2(t)-1}\]$

(Bez záruky, nijak jsem to nezkoumal.)

Edit: Po úpravě:

$x(t)=\frac1a\cdot\ln\[c_+\cdot\cosh^2$a\sqrt{\frac{E}{2m}}(t+C)$-c_-\cdot \sinh^2$a\sqrt{\frac{E}{2m}}(t+C)$\]$

Mohu se zeptat, na jaké škole a v jakém ročníku takovéhle zajímavé úlohy řešíte?

Pavel Brožek · 17. 10. 2009 01:32

A ještě o něco lepší tvar :-) :

$E<0:\qquad\qquad x(t)=\frac1a\cdot\ln\[\frac{-1-\sqrt{1+b}\cdot\cos$a\sqrt{-\frac{2E}{m}}(t+C)$}{b}\]\nl E>0:\qquad\qquad x(t)=\frac1a\cdot\ln\[\frac{-1+\sqrt{1+b}\cdot\cosh$a\sqrt{\frac{2E}{m}}(t+C)$}{b}\]$

Liší se jenom dvě znaménka a funkce cos/cosh. Do jednoho společného tvaru se mi to nacpat nepodařilo :-)

rhinocort · 17. 10. 2009 11:07

Ja to druhy rocnik na MFF ... teoreticka mechanika.

Dakujem za pomoc.

Pavel Brožek

No jo, že mě to hned nenapadlo :-). Nám Podolský taky dával k zápočtu pěkné úlohy, které jdou vyřešit analyticky až do konce.

Tak to jde zapsat jedním vzorcem s využitím $\sqrt{-1}=\textrm{i}$ (neříkám, že je to tak lepší, přehlednější je určitě ten poslední zápis):

$E\in(-1,\,0)\cup(0,\,+\infty):\qquad\qquad x(t)=\frac1a\cdot\ln\[-\frac1b+\frac{\sqrt{1+b}}{|b|}\cdot\cos$a\sqrt{-\frac{2E}{m}}(t+C)$\]$

Ale zapojit do toho řešení pro $E=0$ už asi vážně nepůjde.

rhinocort · 17. 10. 2009 12:27

Celkom som však nepochopil ako sme dospeli k výsledku pre E>0. Čo sa zmenou znamienka E pri integrovaní zmenilo? Ako sme dospeli k funkcii p(t)?

Pavel Brožek

↑ rhinocort:

p(t) jsem si jenom označil kus výrazu, aby ten zápis nebyl tak rozsáhlý.

Co se změnilo při E>0 bys ale měl už zjistit sám, to není tak těžké. Přece jenom je to něco jako domácí úkol, takže bych to třeba dořešil příští víkend po termínu odevzdání, když budeš mít zájem. Ok? :-) (Pokud to teda bude potřeba, Podolský myslim ty úlohy rozebírá trochu na cvičení, tak nevim, ke komu chodíš.)

rhinocort · 17. 10. 2009 13:34

S úlohou samotnou nemám až taký problém. Tie postupy čo vysvetľoval cvičiaci na cvičení som celkom pochopil. Problém som mal akurát so samotnou integráciou výrazu pre x(t). To bola len jedna z piatich častí celej úlohy, ktorú sme dostali. V zadaní bolo ešte aj to, že máme nájsť body obratu častice, nájsť periódu kmitov pomocou Taylorovho rozvoja v nule aj z explicitného vyjadrenia x(t), vyšetriť správanie sa telesa pre t->infinity a ešte je treba aj zakresliť závislosť rýchlosti na polohe. Ako vravím, tak s väčšinou som nemal problém, akurát ten integrál som nejak nerozlúskol. Určite si na to dnes ešte sadnem a večer napíšem ako na tom som.

Teraz ma akurát napadlo, že v tom integrále pri E>0 nebudem vyberať z menovateľa sqrt(-b), ale iba sqrt(b), aby mala odmocnina pred integrálom stále zmysel. To by mohlo zmeniť aj výsledok z arctan(x) na arccoth(x). Neviem, či to je správna úvaha, ale idem to skúsiť spočítať.

Pavel Brožek · 17. 10. 2009 22:01

↑ rhinocort:

S tím $\sqrt{-b}$ a $\sqrt{b}$ máš pravdu. Zůstane tam ve jmenovateli něco jiného, substituce $u=\ldots$ se bude malinko lišit a z toho vznikne ten odlišný výsledek.

rhinocort · 17. 10. 2009 22:01

Dakujem, za velku pomoc ... ta integracia pre E>0 vysla presne tak ako si napisal. Vysledky sa aj celkom dobre zhoduju z tym co som cakal. Napriklad rychlost pre E=-D vysla nulova, co mala vyjst, lebo je to minimum potencialu. Aj dlzka periody pre E<0 vysla tak ako taylorovym rozvojom.
Myslim, ze je to spocitane dobre.

Teraz ma uz mimo zadania domacej ulhohy len napadlo. Ked viem, ze pre E=0 ma rychlost pre t iduce do nekonecna limitu 0, alebo, ze viem, ze pre E>0 bude mat este aj v nekonecne nejaku rychlost ... tak by sa asi malo dat zistit, ako presne vyzeraju zavyslosti v(x) .... teda aspon pre E<0 ocakavam, ze by to mohla byt nejaka elipsa, alebo nieco podobne, len neviem ako to dokazat.

Pavel Brožek · 17. 10. 2009 22:09

↑ rhinocort:

Není mi jasné, co je na tom mimo zadání, podle mě popisuješ přesně bod 5. ze zadání. Můžeš upřesnit, jak to myslíš?

Pro ostatní, ať ví o čem je řeč, zadání je zde: http://utf.mff.cuni.cz/vyuka/OFY003/PRIKLADY/Mech1.ps

rhinocort

Jj, to je to zadanie. Tie grafy mam uz nakreslene, ale nie je tam zadane, ze mame urcit presne o aku krivku ide, len nakreslit priebeh. Ja som to pochopil tak, ze staci priblizny vyvoj rychlosti vzhladom k vzdialenosti. Mam 4 grafy: Jeden pre E=-D, to je len bod, potom pre E<0 to je nejaka elipsa, alebo daco podobneho, potom pre E=0 sa ta "elipsa" natiahne az tak, ze v nekonecne bude nulova rychlost no a pre E>0 by to malo byt tak, ze lava strana tej 'elipsy' sa viac zuzi a prava strana sa bude v nekonecne tiez zblizovat, len v nekonecne este ostane nejaka nenulova rychlost. V zadani nechcu presne vediet ako sa tie objekty, ktore na graf nakreslime volaju a mam pocit, ze to ani nebudu nejake presne elipsy alebo nieco ine ... len ma zaujimalo, ze ci sa da ten objekt nejak blizsie popisat, resp dokazat, ze to je elipsa, alebo nie (co podla mna nie je v zadani).

... ale ako tak na to pozeram, tak minimalne pre E>=0 to nebude ziadna lahko popisatelna krivka, teda aspon nie nic take co by malo svoj specialny nazov. Pre E<0 som si nie isty, ale uz asi viem ako by som to mohol zistit.

Pavel Brožek

Tak ta křivka má rovnici

$\dot{x}^2=\frac{2}{m}\[E-D$\textrm{e}^{-2ax}-2e^{-ax}$\]$ ,

takže tu určitě není elipsa. Případy od E=-D po krocích 0,2D až do E=0,4D jsou na obrázku:

rhinocort

No, tie grafy co som mal som sice robil trochu inym sposobom(ja som to robil tak, ze som si zderivaval explicitne vyjadrene x(t)) ... ten moj postup bol zbytocne zdlhavy, lebo som vlastne derivoval co som predtym integroval ... nenapadlo ma, ze to mozem spravit rovno z povodnej rovnice. Tak ci tak, vyslo mi to iste, aj ked som pocital trochu dlhsie.
Este raz dakujem za pomoc a cas co si mi venoval.

Mohol by som sa este spytat, v ktorom programe si spravil tie grafy? Skusal som to v Mathematike, ale neviem aku funkciu mam pouzit aby mi to tam vykreslovalo.

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2009 23:59

Pohyb telesa v Morseho potenciále

#2 13. 10. 2009 00:21 — Editoval BrozekP (16. 10. 2009 18:00)

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#3 16. 10. 2009 16:28

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#4 16. 10. 2009 20:25

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#5 16. 10. 2009 20:48

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#6 16. 10. 2009 22:45 — Editoval BrozekP (16. 10. 2009 23:29)

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#7 16. 10. 2009 23:13 — Editoval BrozekP (17. 10. 2009 01:04)

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#8 17. 10. 2009 01:32

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#9 17. 10. 2009 11:07

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#10 17. 10. 2009 11:47 — Editoval BrozekP (17. 10. 2009 12:01)

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#11 17. 10. 2009 12:27

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#12 17. 10. 2009 12:59 — Editoval BrozekP (17. 10. 2009 13:00)

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#13 17. 10. 2009 13:34

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#14 17. 10. 2009 22:01

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#15 17. 10. 2009 22:01

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#16 17. 10. 2009 22:09

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#17 17. 10. 2009 23:19 — Editoval rhinocort (17. 10. 2009 23:42)

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#18 18. 10. 2009 00:14 — Editoval BrozekP (18. 10. 2009 00:23)

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

#19 18. 10. 2009 00:24 — Editoval rhinocort (18. 10. 2009 00:46)

Re: Pohyb telesa v Morseho potenciále

Zápatí