Matematické Fórum

jamsoft · 13. 10. 2009 10:45

Ahoj všem,

prosím o pomoc s výpočtem limity

$lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}xy^2\cos \frac{1}{xy^2}$

Možná je to jednoduché, ale nevím, jestli to mám správně....
Postupoval jsem asi takto:

Upravil jsem zlomek za kosínem: $lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}xy^2\cos (xy^2)^{-1}$

A po dosazení mi vyšlo $0\cdot\cos(0)=0$

Je to správně, nebo jsem úplně mimo?

Díky moc za pomoc! (dokonce se to i rýmuje :-) )

jarrro · 13. 10. 2009 11:22

↑ jamsoft:o dvojných limitách veľa neviem,ale $\cos{\left(\frac{1}{a}\right)}\neq \frac{1}{\cos{a}}$

jamsoft · 13. 10. 2009 12:06

↑ jarrro: Děkuji za odpověď... To tam, ale taky nemám - při úpravě jsem pouze převedl zlomek na výraz s mocninou, kosínus celého výrazu zůstal zachován...Alespoň myslím :-)

Tychi · 13. 10. 2009 12:32

↑ jamsoft: A jaks pak spočetl 0 na -1?

u_peg · 13. 10. 2009 12:34

↑ jamsoft:
Podla mna $0^{-1}\ne0$

Pavel · 13. 10. 2009 13:21

Protože kosinus je omezená funkce, platí $-xy^2\leq xy^2\cos \frac{1}{xy^2}\leq xy^2$ na okolí bodu $(0,0)$ . Pak

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}(-xy^2)\leq\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy^2\cos \frac{1}{xy^2}\leq\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy^2$
$0\leq\lim_{(x,y)\to(0,0)} xy^2\cos \frac{1}{xy^2}\leq 0$ .

A tedy

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy^2\cos \frac{1}{xy^2}=0$

Pavel Brožek · 13. 10. 2009 13:24

↑ jamsoft:

$\|xy^2\cdot\cos\frac{1}{xy^2}\|\leq\|xy^2\|\leq|x|\cdot|y|$

(Z toho poslední nerovnost platí pro y v absolutní hodnotě menší než jedna. Ale větší nás ani nezajímají.)

Pro libovolné $\varepsilon>0$ tedy najdeme snadno okolí (třeba čtverec o stranách $\varepsilon$ se středem v nule) takové, že na něm bude platit

$\|xy^2\cdot\cos\frac{1}{xy^2}-0\|<\varepsilon$

Limita je tedy nula.