Matematické Fórum

Cermix · 14. 10. 2009 14:11 — Editoval Cermix (14. 10. 2009 14:12)

Máme vypočítat součet nekonečné řady(resp najít vzorec pro výpočet) dané takto: $\frac{a}{x}+\frac{2a}{x^2}+\frac{3a}{x^3}+....$
zkoušel jsem to dělat jako, že čitatel je geometrická posloupnost tak jsem vyjádřil její součet. to samé ve jmenovateli akorát místo aritmetické, jsem dal geometrickou.. ovšem vyšlo mi to s hodně proměnnýma, tak nevím. prosím pomožte, děkuju.

Alivendes · 14. 10. 2009 14:49

hele neni tam nahodou jeste ze se to necemu rovná ??

Cermix · 14. 10. 2009 15:01

není. dostali jsme jen tohle. nebo na něco učitel zapoměl :)

Pavel Brožek · 14. 10. 2009 15:03

Součet je $\frac{ax}{(1-x)^2}$ pro $x$ taková, že $|x|>1$ . Ale nepodařilo se mi to zatím vyřešit středoškolskými prostředky.

Měl by to být těžký příklad? Nemohl ses přepsat v zadání?

Cermix · 14. 10. 2009 15:09 — Editoval Cermix (14. 10. 2009 15:21)

Byl to příklad na velkou jedničku. A klidně napiš postup, aspoň zamachruju :D P.S.: jestli tam bude něco s parciálníma zlomnkama, tak tomu (trochu) rozumím. A přepsat jsem se nemohl, protože to počítá polovina třídy a každý má stejné zadání. Buď na něco učitel zapomněl, nebo si o nás myslí, že jsme bůhví jak chytří :D

Pavel Brožek

Středoškolák by to mohl vyřešit třeba takovým trikem, který vede ke správnému výsledku.

$\frac{a}{x}+\frac{2a}{x^2}+\frac{3a}{x^3}+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{na}{x^n}=a\cdot\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{x^n}=\nl =a\cdot\;\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^n\frac{1}{x^n}=a\cdot\;\sum_{n,\,j\in\mathbb{N}\nlj\leq n}\frac{1}{x^n}=a\cdot\;\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{n=j}^{\infty}\frac{1}{x^n}=\nl =a\cdot\;\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{x^j}\cdot\frac{1}{1-\frac1x}=\frac{ax}{x-1}\cdot\quad\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{x^j}=\frac{ax}{x-1}\cdot\frac1x\cdot\frac{1}{1-\frac1x}=\frac{ax}{(1-x)^2}$

Tenhle postup ale asi není úplně korektní pro záporná x. (Ale výsledek je správný, to je ověřeno vysokoškolskými metodami :-)

Tam asi bude nějaký trik, jak to spočítat ještě jednodušeji :-).

Pavel Brožek

Jen kdyby tě to zajímalo a chtěl sis k tomu třeba něco na internetu najít, tak se to dá spočítat tak, že uděláš substituci $y=\frac1x$ . Potom z toho je mocninná řada. My si vyhodíme $a$ a jedno $y$ před sumu, zbylou sumu si označíme $f(y)$ . Tuhle sumu integrujeme (člen po členu), takže dostaneme

$\int f(y)\,\textrm{d}y +C=\sum_{n=1}^{\infty}y^n=y\cdot\frac{1}{1-y}$

To zderivujeme, přejdeme zpět k x a máme v podstatě výsledek. A existují věty, díky kterým víme, že součet, který počítáme, je opravdu pro $x\in\mathbb{R},\,|x|>1$ roven našemu výsledku.

Pavel · 14. 10. 2009 15:52 — Editoval Pavel (14. 10. 2009 17:29)

↑ BrozekP:

Řešení bez užití vysokoškolské matematiky:

Nechť $|x|>1$ . Označme hledaný součet řady písmenem $s$ , tedy $s:=\frac ax\,+\,\frac {2a}{x^2}\,+\,\frac {3a}{x^3}\,+\,\frac {4a}{x^4}\,+\,\dots$ . Pak platí

$\red sx-a=\frac {2a}{x}\,+\,\frac {3a}{x^2}\,+\,\frac {4a}{x^3}\,+\,\dots$

Nyní využijme toho, že umíme sečíst geometrickou řadu

$\frac 1x\,+\,\frac 1{x^2}\,+\,\frac 1{x^3}\,+\,\frac 1{x^4}\,+\,\dots =\frac 1{x-1}$ a tedy
$\red \frac ax\,+\,\frac a{x^2}\,+\,\frac a{x^3}\,+\,\frac a{x^4}\,+\,\dots =\frac a{x-1}$ .

Napišme si červeně označené řady pod sebou a odečtěme je. Získáme tak řadu, jejíž součet vlastně hledáme:

$sx-a=\frac {2a}{x}\,+\,\frac {3a}{x^2}\,+\,\frac {4a}{x^3}\,+\,\frac {5a}{x^4}\,+\,\dots$
$\qquad\ \ \frac a{x-1}=\frac ax\,+\,\frac a{x^2}\,+\,\frac a{x^3}\,+\,\frac a{x^4}\,+\,\dots$

$sx-a-\frac a{x-1}=\frac {a}{x}\,+\,\frac {2a}{x^2}\,+\,\frac {3a}{x^3}\,+\,\frac {4a}{x^4}\,+\,\dots=s$

Stačí tedy řešit rovnici

$sx-a-\frac a{x-1}=s\nl sx-s=a+\frac a{x-1}\nl s(x-1)=\frac {ax}{x-1}$

$\Large\blue s=\frac {ax}{(x-1)^2}$

Pavel Brožek · 14. 10. 2009 15:57

↑ Pavel:

Pěkný :-)

(jen si tam oprav to $|x|<1$ na $|x|>1$ )

zdenek1 · 14. 10. 2009 16:11

↑ Cermix:
Ještě jedna možnost
Rozepíšeme to
$\frac{a}{x}+\frac{a}{x^2}+\frac{a}{x^3}+\frac{a}{x^4}+\dots=\frac{a}{x-1}$
$\frac{a}{x^2}+\frac{a}{x^3}+\frac{a}{x^4}+\dots=\frac{a}{x(x-1)}$
$\frac{a}{x^3}+\frac{a}{x^4}+\dots=\frac{a}{x^2(x-1)}$ atd.
Vidíme, že součty tvoří GP s kvocientem $q=\frac{1}{x}$ a sečteme výsledky a ošetříme podmínky.

Výsledek je $\frac{ax}{(x-1)^2}$ , to už tady napsali.

Pavel Brožek

Ano, to je jednodušeji zapsaný můj postup ↑ BrozekP:. (Ono to v tom není moc vidět :-)

Cermix · 14. 10. 2009 16:57

Bomba dík, tolik postupů :D To zas bude někdo machr ve škole :D

Cermix · 15. 10. 2009 08:11

↑ BrozekP:
Jak jsem nad tím koumal, tak jsem nějak nemohl přijít na to, proč tam máš 2 sumace, nemohl bys napsat trochu komentář k tomu?

Pavel Brožek

↑ Cermix:

Tu druhou sumaci si tam vytvořím trochu uměle, abych mohl provést to, co popíšu dále.

Nakresli si dvě osy - na vodorovnou vynes přirozená čísla n a na svislou přirozená čísla j. Vyznač si v rovině takové body, jejichž souřadnice (n, j) je mezi indexy, přes které se sčítá v sumě

(1) $\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{n}$ .

(Tj. např. bod (5,2) vyznačíš, bod (3,9) nevyznačíš.) Dostaneš tak (nekonečnou) množinu bodů v rovině. Měla by připomínat "nekonečný trojúhelník". Podívej se teď na jiné zápisy sčítání

(2) $\sum_{n,\,j\in\mathbb{N}\nlj\leq n}$

(3) $\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{n=j}^{\infty}$

a měl bys zjistit, že tohle odpovídá stejným bodům v rovině, jaké sis už vyznačil. Je to tedy pouze jiný zápis toho samého. Ale v něčem přesto rozdíl je. V zápisu (1) se ve vnitřní sumě nejdřív vysčítá "sloupec" v rovině a vnější suma pak vysčítá tyhle sloupce dohromady. V případě (3) vnitřní suma vysčítá vždy celý "řádek" v rovině a vnější suma sečte ty řádky. Trik je tedy v tom, že stále sčítáme to samé, ale způsobem (3) se to dá mnohem snadněji sečíst.

Cermix · 15. 10. 2009 15:02 — Editoval Cermix (15. 10. 2009 15:02)

Jestli jsem teda správně pochopil význam "dvojité" sumace tak $\sum_{a=1}^3{\sum_{b=1}^3{ab}=36$ ?

Pavel Brožek · 15. 10. 2009 15:09

Ano.

Cermix · 15. 10. 2009 15:29 — Editoval Cermix (15. 10. 2009 15:54)

fajn. tomu bych asi pochápal.. ale neleze mi na mozek jak jsi mohl udělat $a.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{x^n}=\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{n=j}^{\infty}\frac1{x^n}$ mě by hlavně zajímalo kam zmizlo to "n" z jmenovatele.

Pavel Brožek

↑ Cermix:

Žádné n z jmenovatele nezmizelo - myslíš z čitatele? Když něco násobím n, je to jako bych to n-krát sečetl:

$n\cdot a=\underbrace{a+a+\ldots+a}_{n\textrm{-krat}}=\sum_{i=1}^{n}a$

(ta rovnost, co jsi napsal, je několik kroků dohromady, to jentak nevznikne)

Cermix · 15. 10. 2009 15:45

Jo má to být v čitateli :-)
A konečně mi to docvaklo jak to je :D Hele, nechceš mi dát nějaký příklad, který by se řešil tímto způsobem, abych to mohl procvičit?

martanko · 15. 10. 2009 15:53

↑ BrozekP:
prosim ta mohol by si mi ukazat bez pouziatia texu ako si napisal to a+a+...+a a tu zatvorku dole s popisom pod tym?

Jan Jícha · 15. 10. 2009 15:55

\underbrace{a+a+\ldots+a}_{n\textrm{-krat}}

Cermix · 15. 10. 2009 15:57 — Editoval Cermix (15. 10. 2009 16:08)

↑ BrozekP:
takže když se to tak vezme tak by se to dalo napsat takhle?: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{j=n}^{\infty}a}{x^n}$
Ale když nad tím uvažuju, nemohlo by to být třeba aji takhle? : $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sum_{j=n}^{\infty}ja}{x^n}$

Pavel Brožek

↑ Cermix:

Ne, máš špatně meze - sčítal by jsi od j=n až do nekonečna, bylo by tam nekonečně mnoho sčítanců a, což nejde. Aby $\sum a$ dala $na$ , musíš sčítat přes n indexů, takže např.

$\sum_{i=1}^{n}a=\sum_{j=2}^{n+1}a=\sum_{k=-5}^{n-6}a=\sum_{i=1\nli\;\textrm{liche}}^{2n-1}a=na$

Tady jsem při řešení použil přerovnání řady:

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=3709

Ale je to poměrně těžká úloha. Na žádné další si bohužel nevzpomínám, snad někdo jiný bude nějakou znát.

↑ martanko:

Když klikneš na "naTeXovaný" obrázek, jeho zdroj se ti nakopíruje do editačního okna.

Cermix · 15. 10. 2009 18:09 — Editoval Cermix (15. 10. 2009 18:16)

Hele, je $\sum_{a=1}^{\infty}\sum_{b=a+1}^{\infty}{\frac ab}$ to samé jako $\sum_{b=a+1}^{\infty}\sum_{a=1}^{\infty}\frac ab$ ?
(Na zadání se nedívej, jde jen o to, jestli je možno prohazovat sumy)

Pavel Brožek · 15. 10. 2009 18:26

↑ Cermix:

$\sum_{b=a+1}^{\infty}\sum_{a=1}^{\infty}\frac ab$ je špatně zapsané. Nemůžeš mít $b$ závislé na $a+1$ a pak $a$ použít jako index. V celé sumě $\sum_{b=a+1}^{\infty}$ už musí být $a$ fixováno - nesmí se měnit.

Můžeme ale třeba (pokud bude funkce f splňovat určité předpoklady - to je důležité) udělat tohle:

$\sum_{i=5}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}f(i,j)=\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=5}^{\infty}f(i,j)$

Tady totiž hranice jednoho indexu nezávisí na tom druhém indexu.

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2009 14:11 — Editoval Cermix (14. 10. 2009 14:12)

Součet řady

#2 14. 10. 2009 14:49

Re: Součet řady

#3 14. 10. 2009 15:01

Re: Součet řady

#4 14. 10. 2009 15:03

Re: Součet řady

#5 14. 10. 2009 15:09 — Editoval Cermix (14. 10. 2009 15:21)

Re: Součet řady

#6 14. 10. 2009 15:21 — Editoval BrozekP (14. 10. 2009 15:24)

Re: Součet řady

#7 14. 10. 2009 15:33 — Editoval BrozekP (14. 10. 2009 15:34)

Re: Součet řady

#8 14. 10. 2009 15:52 — Editoval Pavel (14. 10. 2009 17:29)

Re: Součet řady

#9 14. 10. 2009 15:57

Re: Součet řady

#10 14. 10. 2009 16:11

Re: Součet řady

#11 14. 10. 2009 16:33 — Editoval BrozekP (14. 10. 2009 16:33)

Re: Součet řady

#12 14. 10. 2009 16:57

Re: Součet řady

#13 15. 10. 2009 08:11

Re: Součet řady

#14 15. 10. 2009 12:41 — Editoval BrozekP (15. 10. 2009 12:42)

Re: Součet řady

#15 15. 10. 2009 15:02 — Editoval Cermix (15. 10. 2009 15:02)

Re: Součet řady

#16 15. 10. 2009 15:09

Re: Součet řady

#17 15. 10. 2009 15:29 — Editoval Cermix (15. 10. 2009 15:54)

Re: Součet řady

#18 15. 10. 2009 15:43 — Editoval BrozekP (15. 10. 2009 15:45)

Re: Součet řady

#19 15. 10. 2009 15:45

Re: Součet řady

#20 15. 10. 2009 15:53

Re: Součet řady

#21 15. 10. 2009 15:55

Re: Součet řady

#22 15. 10. 2009 15:57 — Editoval Cermix (15. 10. 2009 16:08)

Re: Součet řady

#23 15. 10. 2009 16:08 — Editoval BrozekP (15. 10. 2009 16:08)

Re: Součet řady

#24 15. 10. 2009 18:09 — Editoval Cermix (15. 10. 2009 18:16)

Re: Součet řady

#25 15. 10. 2009 18:26

Re: Součet řady

Zápatí