Matematické Fórum

sunny · 21. 01. 2008 17:32 — Editoval sunny (21. 01. 2008 17:33)

( 2 0 1 )
A= ( 0-1 0 )
( 1 0 2 )

L= LAMBDA

zacal jsem hledat vlastni cisla matice: L1, L2, L3. Vyslo mi toto $-3+L(-L^2+3L+1)$ tj. $a=-1, b=+3, c=1$ pouziji kvadratickou rovnici pro nalezeni L2, L3.

Vysel mi tento vysledek: L1=3, L2= $\frac{3\sqrt {13}}{-2}$ , L3= $\frac{-3\sqrt {13}}{-2}$

Delam neco spatne nebo lze s takovymi vysledky hledat vlastni vektory matice?

predem diky za pomoc

plisna · 21. 01. 2008 17:46

vzdyt ty vlastni cisla jsou ty, co jsi vypocetl z te kubicke rovnice, $\lambda_1=1, \lambda_2=-1, \lambda_3=3$ .

Kondr · 21. 01. 2008 17:51

↑ plisna:Tipl bych si, že a,b,c měly značit koeficienty té kvadratické rovnice. Že se číselně rovnají vlastním číslům je ale zajímavá náhoda :)

Chyba je v tom hledání kořenů. Ten determinant napišme ve tvaru
-L^3+3L^2+L-3=-L^2(L-3)+(L-3)=(L-3)(1-L^2)=(L-3)(L-1)(L+1)
Bohužel tady nevystačíme s rovnicí kvadratickou, potřebujeme řešit rovnici kubickou. Jeden její kořen je proto musíme uhodnout. (Ano, lze ho i korektně najít užitím Cardanových vzorců, ale to je metoda, která se v podobných příkladech nevyužívá.)

Při hádání kořenů nám pomůže věta, že je-li zlomek r/s je kořenem nějakého polynomu , pak r dělí jeho poslední a s jeho první koeficient. V našem případě připadají v úvahu jen zlomky 3/1, -3/1, 1/1 a -1/1.
Pokud jeden kořen uhodneme, odštěpíme ho (dělením polynomu či Hornerovým schematem), zbude kvadratický polynom a jeho kořeny najdeme dle známého vzorce.

sunny · 21. 01. 2008 17:55

↑ plisna:

nejak mi to nedochazi:( pro nalezeni L2 a L3 jsem pouzil kvadratickou rovnici... to je spatne? Ma se to pocitat pomoci kubicke?

plisna · 21. 01. 2008 18:17

vsechny tri vlastni cisla ziskas z kubicke rovnice, kterou uz kondr napsal vyse, pricemz jeden korem musis uhadnout, postup opet popsan kondrem vyse, pak rovnice prejde na kvadratickou, kterou uz snadno vyresis.

plisna · 21. 01. 2008 18:20

pocitame $\det \begin{vmatrix}2-\lambda & 0 & 1 \nl 0 & -1 - \lambda & 0 \nl 1 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 0$ , což dava kubickou rovnici $-\lambda^3+3 \lambda^2 + \lambda - 3 = 0$ , jejiz tri koreny $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ jsou hledana vlastni cisla.

sunny · 21. 01. 2008 18:33

↑ plisna:

diky jdu to zkusit spocitat. S kubickou rovnici jsem se jeste nesetkal :)

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2008 17:32 — Editoval sunny (21. 01. 2008 17:33)

Spektrální rozklad matice

#2 21. 01. 2008 17:46

Re: Spektrální rozklad matice

#3 21. 01. 2008 17:51

Re: Spektrální rozklad matice

#4 21. 01. 2008 17:55

Re: Spektrální rozklad matice

#5 21. 01. 2008 18:17

Re: Spektrální rozklad matice

#6 21. 01. 2008 18:20

Re: Spektrální rozklad matice

#7 21. 01. 2008 18:33

Re: Spektrální rozklad matice

Zápatí