Matematické Fórum

Pythagoras · 15. 10. 2009 21:24

Zdravím. Studuji na Vysoké škole v Brně a mám zadány tyto příklady s kterými si nedokáži poradit. Pomohl by mi prosím někdo?
a) integrál (1-2sinx/cos^2 x)dx
b) integrál (x-2/x^3+2x^2+x)dx
c) integrál (dx/sinx-2)
Předem moc děkuji...

gladiator01 · 15. 10. 2009 21:31

Doplň závorky ta zadání jsou nejednoznačná.

integrál (1-2sinx/cos^2 x)dx nebo integrál ((1-2sinx)/cos^2 x)dx atd.

jelena · 15. 10. 2009 21:33

↑ gladiator01:

Zdravím, ještě doplnim, že už jsem reagovala tady(ve smyslu závorek také :-)

Pythagoras · 15. 10. 2009 23:22

$\int\frac {dx}{sinx-2}$

$\int\frac{arccos sqrt x}{sqrt x}dx$

$\int\frac {1-2sinx}{cos^2x}dx$

To jsou ty příklady, nevím si s nimi rady :-( tak bych chtěl poprosit, jestli by mi to někdo nepomohl spočítat.
Omlouvám se za to, jak jsem to napsal předtím, už jsem se naučil s tím texem :-)

Pavel Brožek · 15. 10. 2009 23:27

↑ Pythagoras:

Ten třetí už vyřešil Chrpa tady: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=11093

Pavel Brožek · 15. 10. 2009 23:42

U druhého bych substituoval $\sqrt{x}=\cos t$ . Pak per partes.

Pythagoras · 16. 10. 2009 00:05

↑ BrozekP:
Já právě ani trochu nemám šajnu, kukám na to jak pero z gauče, úplně jsem se u toho zasekl:-(

jelena · 16. 10. 2009 00:24

↑ Pythagoras:

Návrh kolegy povede na takovou úpravu:
substituce $\sqrt{x}=\cos t$ ,
po dosazeni substituce do citatele mame $\mathrm{arccos(\cos t))=t$
$\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{d}x=-\sin t \mathrm{d}t$

tak se pokus o dokončení podle pokynu kolegy BrozkaP

Cheop · 16. 10. 2009 10:19

↑ Pythagoras:
$\int\frac{\arccos(sqrt x)}{sqrt x}dx$ substituce $\sqrt x=\cos(t)\,\Rightarrow\,\arccos(\cos(t))=t$
$\sqrt x=\cos(t)\nl\frac{1}{2\sqrt x} dx=-\sin(t) dt\nldx=-2\sin(t)\cdot\cos(t) dt$
$\int\frac{\arccos(sqrt x)}{sqrt x}dx=-2\int\frac{t\cdot\sin(t)\cdot\cos(t)}{\cos(t)} dt=-2\int t\cdot\sin(t) dt$ použijeme metodu Per partes.
$-2\int t\cdot\sin(t) dt\nlu=t\,,\,\,\,v^'=\sin(t)\nlu^'=1\,,\,\,\,v=-\cos(t)$
$-2\int t\cdot\sin(t) dt=2t\cdot\cos(t)-2\int\cos(t) dt=2t\cdot\cos(t)-2\sin(t)$ vratka k substituci
$t=\arccos(\cos(t))=\arccos(\sqrt x)\nl\sin(t)=\sqrt{1-\cos^2(t)}=\sqrt{1-(\sqrt x)^2}=\sqrt{1-x}$
$2t\cdot\cos(t)-2\sin(t)=2\left(\sqrt x\cdot\arccos(\sqrt x)-\sqrt{1-x}\right)+C$
Resumé:

$\int\frac{\arccos(sqrt x)}{sqrt x}dx=2\left(\sqrt x\cdot\arccos(\sqrt x)-\sqrt{1-x}\right)+C$