Matematické Fórum

FantomX1 · 20. 06. 2007 14:32

Mám tu ďalší príklad, ktorý iste pomože mne, aj mnohým ďalším.

Vypočítajte obsah časti roviny ohraničený krivkou danou parametricky

x=4t^2, y=4t-t^3.

Nakreslite túto krivku.

Ja si to idem preštudova?, dufám, že mi výjde rovnaký výsledok ako vám, ak vobec :|

Kondr · 26. 06. 2007 19:45

Tak začnu obrázkem:
.

Vlastnosti
a) pro všechna t je x>0
b) při dosazení t1 a -t1 dostaneme body se stejnou x-ovou a opačnou y-ovou souřadnicí, plocha je souměrná podle osy x.
c) y=t(4-t^2) je nulové pro t=0, t=-2 a t=2, křivka protne osu x pro x=4.0^2=0 a x=4.2^2=16.
d) vyjádříme t pomocí x $http://forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?\opaque{}t=\frac{\sqrt{x}}2$ a dosadíme do vztahu pro y (uvažujeme jenom horní větev):
$http://forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?\opaque{}y=\frac{\sqrt{x}}2\cdot\left(4-\frac{x}4\right)=2x^{1/2}-\frac{x^{3/2}}8$
derivací
$http://forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?\opaque{}y=\frac12\cdot2x^{-1/2}-\frac32\cdot\frac{x^{1/2}}8=x^{-1/2}-\frac{3}{16}\cdot{}x^{1/2}$ .
Položíme y'=0 (hledáme extrém), po dosazení a vynásobení $http://forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?\opaque{}\frac{16}{3}\cdot{}x^{1/2}$ dostaneme
x=16/3. Pro toto x nabývá y hodnot $http://forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?\opaque\pm\frac{16}{3\sqrt{3}}$
e)pokud to za tebe nenakreslí počítač ;) tak je dobré do grafu vynést průsečíky s osou, extrémy a pár dalších bodů. Protože směrnice je v nule limitně blízká nekonečnu, je x=0 tečnou křivky.
f)Zimtegrujeme horní větev a výsledek vynásobíme 2:
$http://forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?\opaque{}S=2\int_0^{16}ydx=2\int_0^{16}y2x^{1/2}-\frac{x^{3/2}}8=2\left[\frac{2x^{3/2}}{\frac32}-\frac18\cdot\frac{x^{5/2}}{\frac52}\right]_0^{16}=1024/15$ .

FantomX1 · 26. 06. 2007 22:52

diky mnohokrat oO :)

Matematické Fórum

#1 20. 06. 2007 14:32

MA2: Obsah časti roviny zadaný funkciou parametricky

#2 26. 06. 2007 19:45

Re: MA2: Obsah časti roviny zadaný funkciou parametricky

#3 26. 06. 2007 22:52

Re: MA2: Obsah časti roviny zadaný funkciou parametricky

Zápatí