Matematické Fórum

Jacob02 · 17. 10. 2009 20:45

Zdanlive nenarocny priklad, u ktereho me ale zarazi operace $tg1$ :

$f(x)=tg(\pi x - 1) + 1$

Upravoval jsem pomoci rozdiloveho vzorce pro tangens, ale zarazilo me pravo "tg1". Kalulacka rika, ze je to neco malo pres nulu, tak nevim, jestli nejsme uplne mimo. Nebo mohu povazovat hodnotu tg1 za nulu a zjednodusit si praci?

Diky moc,
Kuba

kaja(z_hajovny) · 18. 10. 2009 00:24

ne tg(1) neni nula ani neni blizko nule

je to priblizne 1.557407724654902

Jacob02 · 18. 10. 2009 00:43

↑ kaja(z_hajovny):

Ok, nekde jsem udelal chybu. Pak tedy netusim vubec, jak tento priklad vyresit.

Diky za pomoc!

Tychi · 18. 10. 2009 09:33

↑ Jacob02: je rozdíl mezi jedničkou ve stupních a jedničkou v radiánech. Pomohlo?

Jacob02 · 18. 10. 2009 19:32

aha, ok, uz rozumim.

Nyni ovsem nevim, jak rovnici elegantne upravit. Byvalo by mi pomohlo, kdybych mohl neco poskrkat. Ale takto mam zlomek (podle vzorce pro tg(a-b) a jednicku za nim...

Jacob02 · 20. 10. 2009 22:10

mohl bych někoho poprosit o pomoc? díky, stále se nemůžu dobrat výsledku...

J0NY · 20. 10. 2009 22:18

rovnici?...To je rovnica?...To je funkcia pokiaľ sa nemýlim ;)...resp. pokiaľ dobre vidím...A podľa matemat. pravidiel sa tam nedá nič urobiť (pokiaľ ja viem).

lock2010

↑ J0NY: Jde tam o to, jak přijít na obory Hodnot.. a to se musí upravit.. mim. dle mat. pravidel tam jsou vzorce. ale konec je stále na tg1 nebo resp. na (sin/cos)1

Jacob02 · 20. 10. 2009 22:22

aha aha, diky. Omlouvam se za spatny vyraz, jsem z toho uz docela mimo ...

Kondr · 20. 10. 2009 23:42

$\pi x-1$ je surjektivní, $\tan x$ je surjektivní, $x+1$ je surjekticní => celá funkce (vzniklá jejich složením) je surjektivní, obor hodnot je proto celá množina $\mathbb{R}$ .

Aby byl tangens definován, musí být jeho argument různý od $\pi/2+k\pi$ (kde k je celé), proto $\pi x-1\neq \pi/2+k\pi$ , $x\neq k+1/2+\frac{1}{\pi}$ .
Definiční obor je proto $\mathbb{R}\setminus\{k+1/2+\frac{1}{\pi}|k\in\mathbb{Z}\}$

jelena · 20. 10. 2009 23:46 — Editoval jelena (21. 10. 2009 01:28)

↑ Jacob02:

Zdravím, je potřeba vycházet ze základních vlastností funkce y=tg(x), pomocí úprav odvodíme, jak bude vypadat graf zadané funkce.

def obor: tg není definován pro pi/2, -pi/2 (periodicky se opakuje), proto zkoumáme, kdy je výraz $\pi x-1=\frac{\pi}{2}$ a $\pi x-1=-\frac{\pi}{2}$ (nalezené hodnoty x vyloučíme z def. oboru)

1. pravá asymptota $\pi x-1=\frac{\pi}{2}$ , $2\pi x-2=\pi$ , $x=\frac{\pi+2}{2\pi}$

skutecne vypocteme pribliznou hodnotu x na kalkulacce a v teto hodnote zakreslime svislou caru - toto bude "nová pravá" asymptota tg. Obdobne najdeme "novou levou" asymptotu tg, odsud: $\pi x-1=-\frac{\pi}{2}$ Další asymptoty zakreslíme periodicky.

průsečík s osou x - zjistime, v kterem bode funkce $y=\mathrm{tg}(\pi x - 1)+1$ ma prusecik s osou x, resime $\mathrm{tg}(\pi x - 1)+1=0$ , $\mathrm{tg}(\pi x - 1)=-1$ , $(\pi x - 1)=-\frac{\pi}{4}$ ....dořešíme (i s periodou), konkrétní hodnotu opět dopočteme na kalkuláčce.

Pomocí tohoto bodu a asymptot zakreslíme graf tg - chování grafu $y=\mathrm{tg}(\pi x - 1)$ se neliší od základního grafu y=tg(x), ovsem +1 "posouvá" graf po ose y nahoru o 1.

Nerozvádím podrobně záležitost periodičnosti - je potřeba dokreslit asymptoty na periodách a nulové body na periodách.

Svuj výpočet si můžeš oběřit zde. Stačí takto?

Teď z náhledu vidím, že je již všechno vyřešeno od kolegy Kondra (a ještě navíc za použití odborných výrazů), pozdrav :-)