Matematické Fórum

Jacob02

Rad bych poprosil o pomoc s timto prikladem, ktery se nezda, ze by byl nejak prilis narocny.

$f(x) = arcsin \sqrt[2]{\frac{x-2}{x^2+4}}$

Ukolem je zjistit:
- def. obor
- obor hodnot
- urcit limity pro krajni body
- inverzni funkci

Samotnemu mi u def. oboru vyslo $x\in(2,3)$ .

jelena · 18. 10. 2009 15:22 — Editoval jelena (18. 10. 2009 18:30)

↑ Jacob02:

Def. obor ma jinak: $x\in<2,+\infty)$ (proc je v 3 konec def. oboru?)

Limity pro krajní body mi vychází 0

$y=\mathrm{arcsin}\sqrt{\frac{x-2}{x^2+4}}$

$x=\mathrm{arcsin}\sqrt{\frac{y-2}{y^2+4}}$

$\sin x=\sqrt{\frac{y-2}{y^2+4}}$

$\sin^2 x=\frac{y-2}{y^2+4}$

$(\sin^2 x)\cdot (y^2+4)=y-2$

$(\sin^2 x)\cdot y^2+4\sin^2 x-y+2=0$

$(\sin^2 x)\cdot y^2-y+(2+4\sin^2 x)=0$

Buď prohlásit, že funkce je zadána implicitně nebo ze zápisu vyjadrit y_1, y_2 jako koren kvadraticke rovnice s $a=\sin^2 x$ , $b=-1$ , $c=(2+4\sin^2 x)$ Pak bude potřeba určit, kde je funkce prosto a pouze pro tuto část Df zvolit inverzní funkci, def. obor inverzní funkce by dával obor hodnot pro původní funkci.

A jelikož se mi to zdá příliš dramatické, tak ještě dotaz - není v zadání v jmenovateli "minus"?

Jacob02 · 18. 10. 2009 19:31

dekuji mnohokrat. Ta trojka mi vysla z Df arcsin - rekl jsem si, ze argument v odmocnine ma byt vetsi nez -1 a zaroven mensi nez 1. Zrejme jsem udelal nekde chybu.

V zadani je opravdu plus ve jmenovateli.

jelena · 18. 10. 2009 19:58

↑ Jacob02:

pro def. obor arcsin platí, že:

$-1\le \sqrt{\frac{x-2}{x^2+4}}\le 1$ , odmocnina je číslo nezáporné, řeším tedy:

$\sqrt{\frac{x-2}{x^2+4}}\le 1$ , po umocnění (levá a prava strana jsou kladné), dostanu

$\frac{x-2}{x^2+4}\le 1$

$\frac{x-2-x^2-4}{x^2+4}\le 0$ jmenovatel je jen kladný, tedy čitatel musí být nezáporný

$-x^2+x-6\le 0$ po vynásobení (-1) $x^2-x+6\ge 0$ , což platí pro každé x z R,

proto celkově z pohledu def. oboru je jediné omezení nezápornost pod odmocninou, což zaručí $x-2\ge 0$

Jeste toto doporučím: WolframAlpha, nás zajímá pouze reálná část, vykresleno modře.

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2009 20:50 — Editoval Jacob02 (17. 10. 2009 20:50)

prubeh funkce arcsin s odmocninou

#2 18. 10. 2009 15:22 — Editoval jelena (18. 10. 2009 18:30)

Re: prubeh funkce arcsin s odmocninou

#3 18. 10. 2009 19:31

Re: prubeh funkce arcsin s odmocninou

#4 18. 10. 2009 19:58

Re: prubeh funkce arcsin s odmocninou

Zápatí