Matematické Fórum

Maca · 16. 10. 2009 10:04

Dobrý den,
mám příklad: Pro která a,b jsou prvky R je hodnost matice A rovna číslům 0, 1, 2, 3?

a a 0
A = 0 b b
0 a a

a) (h)= 0 by podle mě bylo, kdyby a=0 a b=0, protože by vznikla nulová matice a ta má hodnost 0
b) (h) = 3 nelze získat, protože řádky 2 a 3 mají na stejném místě nulu, tzn. jsou lin. závislé

ale jak je to s těmi zbylými?

(h) = 2 ... nelze ze stejného důvodu jako (h)=3 ???
a (h) = 1 ..... pro a=0, b=všechna R čísla různá od nuly a opačně ???

Je to tak, nebo jsem mimo?
Děkuji.

Tychi · 16. 10. 2009 10:38 — Editoval Tychi (16. 10. 2009 10:39)

hodnost dva získáš pokud a a b budou nenulové prvky.

Pavel Brožek · 16. 10. 2009 12:37

↑ Maca:

Nevím jak postupuješ, ale pokud je to tak, že si řekneš: Teď budu hledat a, b, pro která je h(A)=2, tak to myslím není dobrý postup.

Já postupuju tak, že se snažím matici upravit na odstupňovaný tvar pomocí úprav, které nemění hodnost (Gaussova eliminace). Takže bych postupoval takto:

Chtěl bych od třetího řádku odečíst druhý tak, aby se ve třetím řádku druhém sloupci prvek vynuloval. To by znamenalo odečíst a/b násobek druhého řádku. Abych to mohl provést, musí být b různé od nuly. Takže si postup rozdělím do dvou větví.

A) $b=0$ . Stačí prohodit druhý a třetí řádek a mám odstupňovaný tvar. Je jasně vidět, že pro $a=0$ bude hodnost 0, pro $a\neq0$ bude hodnost 2.

B) $b\neq0$ . Od třetího řádku odečtu a/b násobek druhého. Získám tak odstupňovaný tvar matice. Je zase dobře vidět, že pokud $a=0$ , bude hodnost 1, pokud $a\neq0$ , bude hodnost 2.

Rozebral jsem tak všechny případy, které mohou nastat. Teď už stačí dát dohromady, jaké všechny dvojice (a,b) přísluší které hodnosti.

$h(A)=0\qquad\Leftrightarrow\qquad a=0\wedge b=0\nl h(A)=1\qquad\Leftrightarrow\qquad a=0 \wedge b\neq0\nl h(A)=2\qquad\Leftrightarrow\qquad a\neq0 \wedge b\in\mathbb{R}\nl$

Maca · 17. 10. 2009 19:32

Moc děkuji :)

Maca · 19. 10. 2009 21:53

Omlouvám se, že se k tomuto ještě vracím. Je to konečný výsledek?
Nebo mám ještě konkrétné vypsat (viz zadání), že

h (A) = 0 pro a=0 a b=0
h (A) = 1 pro žádné R číslo
h (A) = 2 pro (-oo, 0) U (0, +oo)
h (A) = 3 pro žádné R číslo

Děkuji.

Pavel Brožek · 19. 10. 2009 22:02

↑ Maca:

Ale výsledky, co uvádíš, jsou jiné než ty, co jsem uvedl já.

Maca · 19. 10. 2009 22:21

Už to chápu. Výroky.
Omlouvám se za zmatky a ještě jednou moc děkuji.

Matematické Fórum

#1 16. 10. 2009 10:04

Hodnost matice

#2 16. 10. 2009 10:38 — Editoval Tychi (16. 10. 2009 10:39)

Re: Hodnost matice

#3 16. 10. 2009 12:37

Re: Hodnost matice

#4 17. 10. 2009 19:32

Re: Hodnost matice

#5 19. 10. 2009 21:53

Re: Hodnost matice

#6 19. 10. 2009 22:02

Re: Hodnost matice

#7 19. 10. 2009 22:21

Re: Hodnost matice

Zápatí