Matematické Fórum

Maca · 18. 10. 2009 12:39

Dobrý den,
mám zadán následující příklad:
Určete, pro která a je prvkem R má soustava více než jedno řešení:
x_1 + x_2 + ax_3 = 0
x_1 + x_2 + x_4 = 0
x_1 + x_3 + x_4 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0

Poradíte mi, prosím, jak příklad řešit?
Děkuji.

marnes · 18. 10. 2009 12:55 — Editoval marnes (18. 10. 2009 12:56)

↑ Maca:
Řeš pomocí matice. Jen si dej proměnnou s a na pozici A44 ( v matici vpravo dole a samozřejmě musíš posouvat celé řádky a sloupce ), uprav na horní trojúhelníkovou a proveď diskuzi pro a, tzn aby ti poslední řádek vypadnul, pak má soustava oo mnoho řešení

Maca · 19. 10. 2009 12:40

Já vás moc poprosím o VELKOU trpělivost, nejde mi to do hlavy.

Vytvořila jsem matici:

1 1 a 0 l 0
1 1 0 1 l 0
1 0 1 1 l 0
0 1 1 1 l 0

ještě bych snad zvládla posunout postupně první řádek úplně dolů a dostat "a" na pozici 43, ale jak na 44?
Děkuji.

Tychi · 19. 10. 2009 12:54

↑ Maca: Můžeš přesunovat i sloupce.

marnes · 19. 10. 2009 14:59

↑ Maca:
1) Vyměň 1 řádek za čtvrtý
2) Vyměň 3 sloupec za čtvrtý

Maca · 19. 10. 2009 17:52

Děkuji,
takže:
0 1 1 1 l 0 pak 0 1 1 1 l 0 Teď bych měla udělat trojúhelníkovou matici tzn. prvky na hl.
1 1 0 1 l 0 1 1 1 0 l 0 diagonále různé od nuly a pod hl. diagonálou nuly. Pokud se nepletu.
1 0 1 1 l 0 1 0 1 0 l 0 Ale jak to udělat?
1 1 a 0 l 0 1 1 0 a l 0

Napadá mě třeba vyměnit 1. řádek za druhý.. ale pořád mi zůstanou 3 jedničky vlevo dole .... nebo bych mohla odečíst 2.ř - 4.ř (pro 4. řádek), ale to si taky moc nepomohu...

Tychi · 19. 10. 2009 18:13

↑ Maca: Ano, přeseuň na první řádek buť druhý nebo třetí řádek a gaussovou eliminací pokračuj. Tj. odečteš postupně dva řádky (ty co mají také jedničku nazačátku) od prvního, jeden (ten s nulou) zůstane tak jak je. Tím dostaneš v druhém, třetím a čtvrtém řádku na začátku 0...

Maca · 19. 10. 2009 21:00

Ještě oprava:
Druhá matice měla být: 0 1 1 1 l 0 pak 1 1 1 0 l 0 pak 1 1 1 0 l 0
1 1 1 0 l 0 0 1 1 1 l 0 0 1 1 1 l 0
1 0 1 1 l 0 1 0 1 1 l 0 0 1 0 -1 l 0
1 1 0 a l 0 1 1 0 a l 0 0 0 1 -a l 0

Dál mě napadá vynásobit posl. dva řádky *(-1) l Pak k 3.ř. přičíst 2. ř.
l
1 1 1 0 l 0 l 1 1 1 0 l 0
0 1 1 1 l 0 l 0 1 1 1 l 0
0 -1 0 1 l 0 l 0 0 1 2 l 0
0 0 -1 a l 0 l 0 0 -1 a l 0

A teď už mě napadá jen udělat to samé s 4. a 2. řádkem, ale to asi nejde, ne? Jak by pak vypadal prvek 44? "a+2" ?

Tychi · 19. 10. 2009 21:06

ano, přesně tak by vypadal. Pak jen určíš jak zvolit a, aby čtvrtý řádek vypadl a tím najdeš to a, které zajístí, že rovnice bude mít vícerořešení.

Maca · 19. 10. 2009 21:18

Takže mi vyjde matice:
1 1 1 0 l 0 pak mám: a + 2 = 0 l-2
0 1 1 1 l 0 a = -2
0 0 1 2 l 0
0 0 0 a+2l 0 ale jak mám poznat to vícero řešení? Děkuji.

marnes · 19. 10. 2009 22:24 — Editoval marnes (19. 10. 2009 22:42)

↑ Maca:Aby bylo nekonečně mnoho řešení, musí být v posledním řádku same nuly. To bude za podmínky, že a=-2. No a pak zvolíš za x4=t, ve třetím řádku je, že x3+2.x4=0 určíš x3=-2t, jdeš do ruhého, atd

Navíc úkol zněl jen pro které a bude oo mnoho řešení

Maca · 19. 10. 2009 22:36

MOc děkuji. Dobrou :)

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2009 12:39

Soustava rovnic

#2 18. 10. 2009 12:55 — Editoval marnes (18. 10. 2009 12:56)

Re: Soustava rovnic

#3 19. 10. 2009 12:40

Re: Soustava rovnic

#4 19. 10. 2009 12:54

Re: Soustava rovnic

#5 19. 10. 2009 14:59

Re: Soustava rovnic

#6 19. 10. 2009 17:52

Re: Soustava rovnic

#7 19. 10. 2009 18:13

Re: Soustava rovnic

#8 19. 10. 2009 21:00

Re: Soustava rovnic

#9 19. 10. 2009 21:06

Re: Soustava rovnic

#10 19. 10. 2009 21:18

Re: Soustava rovnic

#11 19. 10. 2009 22:24 — Editoval marnes (19. 10. 2009 22:42)

Re: Soustava rovnic

#12 19. 10. 2009 22:36

Re: Soustava rovnic

Zápatí