Matematické Fórum

Warren_Griffin

Zdravím, může mi prosím někdo poradit s postupem výpočtu limity? Pokaždé mi vyjde neurčitý výraz.

${\lim}\limits_{n \to \infty}[(3-n)^{10}-(n^{14}-5)^{2}]$

Má to vyjít $+\infty$

Díky

edit:oprava znaménka v zadání

jelena · 17. 10. 2009 13:29

Zdravím, pokud to takto rozšířiš, nejvýšší mocnina je čitateli (je to n^56), po vytknutí a vykrácení této mocniny dostaneme 1/0.

${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{$(3-n)^{10}+(n^{14}-5)^{2}$$(3-n)^{10}-(n^{14}-5)^{2}$}{(3-n)^{10}-(n^{14}-5)^{2}$

Tak?

Warren_Griffin

Omlouvám se, mezi výrazy v závorce má být mínus

${\lim}\limits_{n \to \infty}[(3-n)^{10}-(n^{14}-5)^{2}]$

Postup je ted stejný? tedy pomocí rozšíření?

jelena · 17. 10. 2009 14:15

↑ Warren_Griffin: úplně stejný, dokonce v této podobě (s minusem) je skutečně neurčitost oo-oo (v původním zadání ani nebyla :-). Stačí tak?

Warren_Griffin

Bohužel pořád se moc nechytám. Po rozšíření a upravení podle a^2-b^2 mi vyjde následující.

${\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{(3-n)^{20}-(n^{14}-5)^{4} }{(3-n)^{10}+(n^{14}-5)^{2} }$

Jak to mohu vytknout a vykrátit? Můžete mi to prosím podrobněji vysvětlit či rozepsat?

Díky

jelena · 17. 10. 2009 16:00

↑ Warren_Griffin:

výraz v závorce třeba $(n^{14}-5)^{4}$ by se rozkládal podle binomické věty - v rozkladu se objeví nejvýšší mocnina 1. členu - na začátku a nejvýšší mocnina 2. členu na konci. Mezi tim jsou členy, co obsahuji nižší mocniny.

Když z takového výrazu vytknu $n^{56}(\frac{n^{56}}{n^{56}}+\frac{neco}{n^{56}}+\frac{jine\ neco}{n^{56}}+\frac{dalsi\ neco}{n^{56}} + \ldots$ To stejné provedeme v další závorce a v jmenovateli, pak vytknutou $n^{56}$ vykratime. V limite dostaaneme $\frac{1+0+0+ \ldots}{0}$

Rozuměno?

Pavel · 19. 10. 2009 15:57

${\lim}\limits_{n \to \infty}[(3-n)^{10}-(n^{14}-5)^{2}]=\lim_{n \to \infty}n^{28}\left[\frac{(3-n)^{10}}{n^{28}}-\frac{(n^{14}-5)^{2}}{n^{28}}\right]=\lim_{n \to \infty}n^{28}\left[\left(\frac{3-n}{n^{2{,}8}\right)^{10}-\left(\frac{n^{14}-5}{n^{14}}\right)^{2}\right]=\nl \lim_{n \to \infty}n^{28}\left[\left(\frac{3}{n^{2{,}8}}-\frac{1}{n^{1{,}8}\right)^{10}-\left(1-\frac{5}{n^{14}}\right)^{2}\right]= \lim_{n \to \infty}n^{28}\left[(0-0)^{10}-(1-0)^{2}\right]=-\lim_{n \to \infty}n^{28}=-\infty$

jelena · 19. 10. 2009 23:49

↑ Pavel:

Zdravím a děkuji za přehlednější postup, než ten můj.

Asi jsem nebyla dost důrazná, že samozřejmě pomocí binomické věty rozkladat nebudeme, ale jen si představíme, co z toho vznikne.

Ale v čem jsem opravdu nebyla důrazná, že jsem neupozornila na znamenko "minus" před členem s největší mocninou - rozebrala jsem jednu závorku, což bylo nedostačující. Za toto vážně omluva kolegovi (hlavně, že jsem to opakovala celý víkend jako v pásové výrobě - neboť v Ostravě jsou průběžné písemky).

Hezký pozdrav :-)

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2009 13:07 — Editoval Warren_Griffin (17. 10. 2009 14:07)

limita - postup výpočtu

#2 17. 10. 2009 13:29

Re: limita - postup výpočtu

#3 17. 10. 2009 14:06 — Editoval Warren_Griffin (17. 10. 2009 14:06)

Re: limita - postup výpočtu

#4 17. 10. 2009 14:15

Re: limita - postup výpočtu

#5 17. 10. 2009 15:11 — Editoval Warren_Griffin (17. 10. 2009 15:13)

Re: limita - postup výpočtu

#6 17. 10. 2009 16:00

Re: limita - postup výpočtu

#7 19. 10. 2009 15:57

Re: limita - postup výpočtu

#8 19. 10. 2009 23:49

Re: limita - postup výpočtu

Zápatí