Matematické Fórum

marros11 · 21. 01. 2008 20:46

Prosim o pomoc:

mam A = 2 0 -2
0 1 0
-2 0 2

L=lambda

kdyz chci pocitat vlastni cisla a vektory, vyjde mi predpis -L^3+5L^2-12L+8. Nevim si stim rady co dal. A jestli je to vubec spravne? Muzete mi pomoct? Dekuji.

Kondr · 21. 01. 2008 20:52

Determinant matice A-LI je
(2-L)(1-L)(2-L)-4(1-L)=(1-L)(L^2-4L)=L(1-L)(L-4).
Vlastní čísla mi proto vyšla 0,1 a 4.
Pro 0 vlastní vektor (1,0,1), pro 1 vlastní vektor (0,1,0) a pro 4 vlastní vektor (1,0,-1).

marros11 · 21. 01. 2008 21:13

Muzu se zeptat jak prijdu na ty vlastni cisla? Predpis mi uz po vytknuti druheho radku a sloupce vyslo stejne, ale nevim jak na ty vlastni cisla?

marros11 · 21. 01. 2008 22:06

Pocital jsem ty vlastni vektory a vysly mi v1[1,0,1],v2[0,0,0] a v3[1,0,-1]. Mam spravne ten vektor v2? Po odecteni lambdy 1/kou mi vysel nulovy druhy radek matice a prvky v prvnim a tretim radku jsou taky nulove, takze vektor v2 na pozici y ma taky 0? Je to tak? Nebo jsem o5 udelal chubku?

Kondr · 21. 01. 2008 22:20

U tohoto typu úloh je potřeba umět řešit rovnici třetího stupně. Podívej se tu na fóru na ostatní dotazy ohledně spektrálního rozkladu. Pokud se ti podaří determinant rozložit do tvaru L(1-L)(L-4), je to už jasné, ne?

Co se týče vlastních vektorů -- pro L=1 je matice té soustavy
1 0 -2
0 0 0
-2 0 1
po úpravách
1 0 -2
0 0 5
0 0 0
Proto poslední složka je 0, druhou zvolíme za parametr, první vyjde 0, tj. vlastní vektory pro L=1 jsou (0,t,0), my z nich vezmeme (0,1,0).

marros11 · 21. 01. 2008 22:30

Determinant se mi podari dostat do toh tvaru, ale nevim jak stoho vycist vlastni cisla. Muzes mi to osvetlit?

u L=1 mi vyslo po opravach
1 0 -2
0 0 0
0 0 -3

Nechapu jak jsi dostal na pozic 2,3 cislo 5? Ja na zacatku pricetl dvojnasobek prvniho radku. Kde delam chybu?

Kondr · 22. 01. 2008 15:24

Hledat kořeny polynomu L(1-L)(L-4) znamená ptát se, pro která L bude hodnota L(1-L)(L-4) nulová. Ta bude nulová, pokud bude nulový alespoň jeden z činitelů L, 1-L, L-4. První je nulový pro L=0, druhý pro L=1, třetí pro L=4.

Jinak soustavy dané maticemi
1 0 -2
0 0 0
0 0 -3
a
1 0 -2
0 0 5
0 0 0
jsou ekvivalentní (prohození dvou řádků a vynásobení řádku číslem -3/5 jsou ekvivalentní úpravy).

Matematické Fórum

#1 21. 01. 2008 20:46

Spektralni rozklad matice

#2 21. 01. 2008 20:52

Re: Spektralni rozklad matice

#3 21. 01. 2008 21:13

Re: Spektralni rozklad matice

#4 21. 01. 2008 22:06

Re: Spektralni rozklad matice

#5 21. 01. 2008 22:20

Re: Spektralni rozklad matice

#6 21. 01. 2008 22:30

Re: Spektralni rozklad matice

#7 22. 01. 2008 15:24

Re: Spektralni rozklad matice

Zápatí