Matematické Fórum

příklad 1:
/obrázek/
hluobka kanálu: h = 5m
šířka kanálu a = 2,25m
(alfa) = 68°10'
(beta) = 73°50'
horní šířka c = ?

představ si (pokusím se sem pak hodit obrázek) na každé straně lichoběžníka ABCD pravoúhlý trojúhelník tak,
že 1. z nich má vrcholy AXD (při vrcholu X leží pravý úhel). Jedna jeho odvěsna je rovna výšce lichoběžníka (h = 5m), přepona je rovna straně lichoběžníka; druhá odvěsna má velikost x = |AX|, úhel který svírá tato odvěsna s přeponou je (alfa) = 68°10'. Ekvivalentně při vrcholu B vytvoříme druhý pravoúhlý trojúhelník BCY s pravým úhlem při vrcholu Y. Při vrcholu B leží úhel (beta) = 73°50'; |YB| = y; druhá odvěsna je opět rovna výšce lichoběžníka h = 5m.

a nyní výpočet:
Šířka dna a šířka jeho horní strany se bude lišit o z = x+y *)
Tyto strany si můžeme spočítat pomocí goniom. funkcí v příslušných trojúhelnících:

trojúh. AXD:
tg(alfa) = h / x

trojúh. BCY:
tg(beta) = h / y

z se tedy rovná:
z = h*(1/tg(alfa) + 1/tg(beta))

hledanou velikost strany c zjistíme tedy součtem:

c =  a + z (výsledek bude v metrech)


*)
tímto si nejsem jistý:
protože se nejedná o orientované úhly, můžou, alespoň si myslím, nastat celkem 4 případy:
a) c>a tedy případ, který jsme uvažovali výše); c = a +x +y
b) přesný opak, tedy c<a, strany lichoběžníka jsou "otočeny směrem dovnitř," tedy: c = a - x - y
c) první strana odpovídá možnosti a), ta druhá možnosti b), tedy: c = a +x -y
d) opak možnosti c, tedy: c = a - x + y


---
takže 2:

když si to načrtneš, zjistíš, že se skládá z 9 rovnoramenných trojúhelníků. Každý z trojúhelníků má při vrcholu ve středu 9tiúhelníku přesně 40° (360°/9). Rozdělím-li tento trojúhelník na dva pravoúhlé (rozděluji jej výškou na stranu, která leží na obvodu devídiúhelníka), získám úhel (alfa)=20° při vrcholu trojúhelníka u středu 9tiúhel.

Získal jsem tedy pravoúhl. trojúhelník, v němž využiju goniom. funkce:

sin(alfa) = (a/2) / r
sin(20°) * (d/2) * 2 = a

a je pro tebe 1 strana devítiúhel. Tedy obvod o = 9*a

Obsah spočítáš třeba takto:
Budeme opět uvažovat ony malé pravoúhlé trojúhelníky - je jich 18. Jednu jeho odvěsnu znáš (a/2), druhou snadno dopočítáš:

tg(20°) = (a/2) / (x)

mno a můžeš vypočítat obsah toho malého pravoúhlého trojúhelníka:
S1 = (a/2) * (x) / 2

A obsah devítiúhelníka, který je složen z 18 těchto malých trojúhelníků, tedy je S=18*S1

---
edit: příklad 3:

r = 3cm = 0,03m
12hodin = 12*60minut = 12*60*60 sekund

vteřinová ručička tedy udělá 12*60*60 oběhů. Každý oběh si představíme jako jeden kruh. Bod na konci ručičky tedy obíhá po kružnici k(S, r=3cm). Jeden oběh se tedy rovná obvodu kruhu:

O=2*(pí)*

mno a tento pohyb udělá daný bod za 12 hodin celkem: 12*60*60 krát. Proto pro zjištění jeho dráhy stačí zjištěný obvod vynásobit:

d = (12*60*60) * O

---

edit2: příklad1

Doxxik