Matematické Fórum

Mischka · 22. 01. 2008 07:48

Zdravím,

potřebuji poradit, jak mám vyjádřit nekonečně mnoho řešení (vypsat výsledek) redukované matice (4-řádkové), kde dva řádky jsou samé nuly, tzn. jsou lineární kombinací zbývajících dvou řádků. Po úpravách má redukovaná matice trojúhelníkový tvar. Determinant matice se rovná nule (vynásobení prvků v hlavní diagonále redukované matice). Jde čistě o interpretaci tohoto výsledku. Děkuji

Michaela

plisna · 22. 01. 2008 08:50

a muzes sem dat konkretni priklad? jestli dobre chapu tvuj problem, tak bude treba reseni vyjadrit pomoci dvou parametru.

Mischka · 22. 01. 2008 12:54

Pro zadanou soustavu lineárních rovnic byl použitím vhodného software získán výsledek zapsaný ve tvaru trojúhelníkové matice. Interpretujte tento výsledek. (V případě existence řešení vypište výsledek, v opačném případě prokažte nekorektnost zadání.)
Proveďte pro soustavu:
3x1+3x2-4x3+4x4=0
2x1+x2-2x3+x4=0
x1-x2-2x4=0
6x1+6x2-8x3+8x4=0

redukovaná matice:

1 0 -2/3 -1/3 0
0 1 -2/3 5/3 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Odpověděla jsem, že dva nulové řádky v redukované matici nám říkají, že dvě z daných rovnic jsou lineární kombinací zbývajících dvou rovnic. Soustava má nekonečně mnoho řešení. Determinant uvedené matice se rovná nule (vynásobení prvků v hlavní diagonále redukované matice). Mám vypsat těch nekonečně mnoho řešení, to ale nevím jak :(. Děkuji!

thriller · 22. 01. 2008 13:06

$(\frac23 t + \frac13s ,\frac23 t - \frac53 s ,t ,s ) kde t,s \ in \mathbb R$

plisna · 22. 01. 2008 13:08 — Editoval plisna (22. 01. 2008 13:09)

ano, soustava ma nekonecne mnoho reseni, radky jsou linearne zavisle, coz plyne z nulovosti determinantu. jelikoz mame dve rovnice, ale 4 nezname, musime zavest dva parametry a pomoci techto dvou paramteru vyjadrit reseni. zvolme tedy jako parametry $x_3 = u, x_4 = v$ . pak je druha rovnice ve tvaru $x_2-\frac{2}{3}u + \frac{5}{3}v = 0 \qquad \Rightarrow \qquad x_2 = \frac{2}{3}u-\frac{5}{3}v$ a dale z prvni rovnice $x_1 - \frac{2}{3}u - \frac{1}{3}v = 0 \qquad \Rightarrow \qquad x_1 = \frac{2}{3}u + \frac{1}{3}v$ , takze mame reseni ve tvaru $\left\[ x_1, x_2, x_3, x_4 \right\] = \left\[ \frac{2}{3}u + \frac{1}{3}v, \frac{2}{3}u-\frac{5}{3}v, u, v \right\]$ , kde $u, v \in {\rm R}$ , coz skutecne popisuje vsech nekonecne mnoho reseni.