Matematické Fórum

byk7 · 25. 10. 2009 14:34

Dobré nedělní odpoledne,

narazil jsem na úlohu ve které musím sečíst,
nevím jestli to správně nazývám,
exponenciální řadu.

Úloha zní:

" O vynálezci šachů
Vypráví se, že šachová hra tak okouzlila
indického krále, že se rozhodl splnit jejímu
vynálezci jakékoliv přání. "Dej mi, pane,
za první pole jedno zrno obilí, za druhé
dvě zrna, za třetí čtyři zrna a za každé následující
dvojnásobný počet zrn než za pole předchozí."
Králi připadala odměna nepatrná.

Spočítej, kolik zrn dostal vynálezce šachů."

Ze zadání plyne, že dostane celkem:

$2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{62}+2^{63}$

Jak se sečte, prosím, takováhle řada?

Děkuji.

KennyMcCormick · 25. 10. 2009 14:39

↑ byk7:
$http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bi%3D0%7D%5E%7B63%7D2%5Ei%3D1%2A%5Cfrac%7B2%5E%7B64%7D-1%7D%7B2-1%7D%3D18446744073709551615.gif$

byk7 · 25. 10. 2009 15:28

dík

KennyMcCormick · 25. 10. 2009 15:30

↑ byk7:
Není zač.

Doxxik · 25. 10. 2009 15:44 — Editoval Doxxik (25. 10. 2009 21:08)

↑ KennyMcCormick:

2 byk7: to co napsal KennyMcCormick je dosazení do vzorce pro součet n členů tzv geometrické řady. Na základní škole se s tím tuším nesetkáš, ale věz, že geometrická řada je taková řada po sobě jdoucích čísel, že libovolný její člen (označme si jej třeba $a_n$ ) je několikrát menší, než člen následující (tedy $a_{n+1}$ ). Číslu, které vyjadřuje kolikrát je následující člen větší, se říká kvocient a značí se $q$ .

Ve tvém případě je q = 2. Všimni si, že každý člen (každý člen v tomto případě symbolizuje jedno pole a jeho "hodnota" je vyjádřena v počtu zrníček na něm.. př.: 1.pole: $a_1 = 1$ , 2. pole: $a_2 = 2 = 1*2 = a_1 * 2$ , 3. pole: $a_3 = 4 = 2*2 = a_2 * 2$ , ... a tak pokračuješ až po $a_64 = 2^{63}$ ).

Pro součet n členů geometrické řady je nutné znát tyto údaje:
$a_1 = 2^0$ , tedy první člen posloupnosti
$a_n = 2^{63}$ , poslední člen, který chceš ještě sečíst, v našem případě tedy 64. člen, proto se ve výpočtu (níže) bude n = 64
$q$ , tedy kvocient této geom. posloupnosti.

pak už stačí zadat do vzorce pro součen n členů geom. posloupnosti:
$s_n = a_1 * \frac{q^{n}-1}{q-1}$
dosadíme:
$s_{64} = 1 * \frac{2^{64}-1}{2-1}$
což je ekvivalentní zápis pro to, co napsal ↑ KennyMcCormick:

Doxxik

Cermix · 25. 10. 2009 20:46

ehm.. Základní škola? :D

pusik1989 · 25. 10. 2009 21:12

↑ byk7:
Tuhle ulohu jsme pocitali ve tretaku na gymplu nevim co dela tady .

Jan Jícha · 25. 10. 2009 21:21

My zase v prváku na technickym gymplu.
↑ pusik1989: Protože Pikomat je určen pro žáky druhého stupně ZŠ.
Tady Odkaz

Tychi · 25. 10. 2009 21:56

To bude zase z nějaké soutěže, tam se vyskytují věci ke samostudiu..

byk7 · 26. 10. 2009 06:59

Honza Matika napsal(a):
My zase v prváku na technickym gymplu.
↑ pusik1989: Protože Pikomat je určen pro žáky druhého stupně ZŠ.
Tady Odkaz

Ale to není z Pikomatu

byk7 · 26. 10. 2009 07:05

Víte, ta úloha původně zněla:

" O vynálezci šachů
Vypráví se, že šachová hra tak okouzlila
indického krále, že se rozhodl splnit jejímu
vynálezci jakékoliv přání. "Dej mi, pane,
za první pole jedno zrno obilí, za druhé
dvě zrna, za třetí čtyři zrna a za každé následující
dvojnásobný počet zrn než za pole předchozí."
Králi připadala odměna nepatrná.

Spočítej, kolik zrn dostal vynálezce šachů za prvních osm polí."

Jenže to mi přišlo moc jednoduché, tak jsem to zadání trochu upravil.

To by bylo:
$2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7=1+2+4+8+16+32+64+128=255$

Jan Jícha · 26. 10. 2009 15:19

↑ byk7:
My jsem to počítali v prváku, aniž by jsme věděli, jak se počítají řady. (Ale až do konce) Byl to příklad na jedničku.
Jěště tam bylo, že zrnko váží 1,7g a kolik e s tím naplní vagónů, který unese 10,000t, jestliže se při každém naplnění vagónu vysype 5,000 zrníček :D

Jan Jícha

↑ byk7:
No je jasné, že tam budou nějaké ztráty Při nakládní zrnek se vždy něco vysype vedle. Takže 1 vagón naplníš $\frac{1\cdot 10^{10}}{1,7$ zrnkami. A u každého vagónu se musí počítat s 5000 zrnkami navíc.

byk7 · 08. 11. 2009 17:50 — Editoval byk7 (09. 11. 2009 10:13)

↑ byk7:

Kdybych to chtěl násobit bylo by to tolik?:

$2^0\cdot2^1\cdot2^2\cdot\....\cdot2^{64}=\prod_{i=0}^{64}2^i=2^{\left(\sum_{i=0}^{64}n_i\right)}=2^{\frac{1}{2}\cdot63\cdot64}=2^{2016}$

KennyMcCormick

$2^0\cdot2^1\cdot2^2\cdot\....\cdot2^{64}=\prod_{i=0}^{64}2^i=2^{\left(\sum_{i=0}^{64}i\right)}=2^{\frac{64}{2}(64+1)}=2^{2080}$

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2009 14:34

Slovní úloha se součtem řady

#2 25. 10. 2009 14:39

Re: Slovní úloha se součtem řady

#3 25. 10. 2009 15:28

Re: Slovní úloha se součtem řady

#4 25. 10. 2009 15:30

Re: Slovní úloha se součtem řady

#5 25. 10. 2009 15:44 — Editoval Doxxik (25. 10. 2009 21:08)

Re: Slovní úloha se součtem řady

#6 25. 10. 2009 20:46

Re: Slovní úloha se součtem řady

#7 25. 10. 2009 21:12

Re: Slovní úloha se součtem řady

#8 25. 10. 2009 21:21

Re: Slovní úloha se součtem řady

#9 25. 10. 2009 21:56

Re: Slovní úloha se součtem řady

#10 26. 10. 2009 06:59

Re: Slovní úloha se součtem řady

Honza Matika napsal(a):

#11 26. 10. 2009 07:05

Re: Slovní úloha se součtem řady

#12 26. 10. 2009 15:19

Re: Slovní úloha se součtem řady

#13 26. 10. 2009 16:46 — Editoval Honza Matika (26. 10. 2009 16:53)

Re: Slovní úloha se součtem řady

#14 08. 11. 2009 17:50 — Editoval byk7 (09. 11. 2009 10:13)

Re: Slovní úloha se součtem řady

#15 09. 11. 2009 12:28 — Editoval KennyMcCormick (09. 11. 2009 14:57)

Re: Slovní úloha se součtem řady

Zápatí