Matematické Fórum

VE3V1 · 24. 10. 2009 12:52

ahoj mam tu příklad na vektory a jelikož v nich celkem plavu potřeboval bych vysvetlit jak nato :))
takže je zadán trojůhelník ABC s následujícími údaji :
A[-2,2]
B[2, 4]
C[5,-3]

tak a učitelka po nás chce určit 1) vnitřní úhly stran
2) délky stran
3) délky těžnic
4) délky středních příček

absolutně si s tímto nevím rady proto vás žádám o pomoc, díky všem moc mi to pomůže :))

jelena · 24. 10. 2009 12:56

↑ VE3V1: zdravím, nech se inspirovat tady: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=10811

septolet

Tak jak by si to řešil ty?

Já nejspíš takto:
1) Např. pro úhel u vrcholu A, bych si spočítal vektory AB a AC a spočítal jaký svírají úhel.
2) Tady ani nemusím používat vektory, stačí spočítat vzdálenost dvou bodů v rovině podle vzorečku |AB| = $sqrt((b1-a1)^2+(b2-a2)^2)$ , přičemž A[a1, a2] a B[b1, b2]
3) K určení délky těžnic vektory opět využívat nemusím. Stačí si uvědomit, že souřadnice středu strany získám takto: S=[(a1+b1)/2;(a2+b2)/2], kde a1,b1 jsou x-ové souřadnice bodu A a B a a2,b2 jsou y-ové souřadnice bodu A a B.
4) Tak středy stran už máš vypočítané z bodu 3), teď stačí spočítat jejich vzdálenost podle vzorečku z bodu 2)

Zkus to použít a kdybys něco konkrétního nevěděl, tak napiš.

VE3V1 · 24. 10. 2009 13:53

ok zachvíli se do toho vrhnu a dám vědět, díky :)) jde spíš oto že ona chce potom vypočítat jednotlivé úhly tech stran pomocí skalárního součinu a vzorce - cos (fí) = vektor u . vektor v, lomeno velikost vektoru u . velikost vektoru v

Chrpa · 25. 10. 2009 11:11 — Editoval Chrpa (26. 10. 2009 14:47)

↑ VE3V1:
Výpočet úhlů pomocí skalárního součinu:
úhel $\beta$ bude odchylka strany AB tj vektoru u = B-A a strany BC tj. vektoru v =C-B
oddchylka bude:
$\cos\beta=\frac{|u\cdot v|}{|u|\cdot|v|}$
$u=B-A=(2-(-2)\,;\,4-2)=(4\,;\,2)$
$v=C-B=(5-2\,;\,-3-4)=(3\,;\,-7)$
$u\cdot v=4\cdot 3+2\cdot(-7)=-2\,\Rightarrow\,|u\cdot v|=2$
$|u|=\sqrt{\left(2-(-2)\right)^2+(4-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt 5$ tj. vzdálenost bodů AB
$|v|=\sqrt{(5-2)^2+(-3-4)^2}=\sqrt{58}$ tj. vzdálenost bodů BC
teď dosadíme do vzorce a dostaneme:
$\cos\beta=\frac{|u\cdot v|}{|u|\cdot|v|}=\frac{2}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{58}}=\frac{1}{\sqrt{290}}\nl\beta=\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{290}}\right)\dot=86^\circ\,38^'$
Podobným způsobem vypočítáš např. úhel $\alpha$ a dopočteš úhel $\gamma$ jako $\gamma=180-(\alpha+\beta)$
PS
Obrázek:
http://forum.matweb.cz/upload/1256564794-entr2.jpg

VE3V1 · 26. 10. 2009 19:34

super, jdu nato :)) ale spíš mi nejde do hlavy jakto že při úhlu beta neděláme strany AC ale AB když jakoby vlastně strana B je jakoby ''přeponou'' a AC prilehlé strany... ale přesto za toto opravdu vřelé díky :)

VE3V1 · 26. 10. 2009 19:55

ještě mi není jasné proč je u toho skalárního součinu koneční výsledek 2 a né -2 ? :(

KennyMcCormick · 26. 10. 2009 19:57

↑ VE3V1:
Protože je to absolutní hodnota jejich skalárního součinu. Proto tam jsou ty svislý závorky ||.

marnes · 26. 10. 2009 20:05 — Editoval marnes (26. 10. 2009 20:07)

↑ VE3V1: No jestli počítáme úhly v trojúhelníku, tak by tam ta absolutní hodnota být neměla, protože úhel v trojúhelníku může být i tupý. Pokud se počítá úhel mezi přímkami, tak tam naopak AH být musí, abychom zajistili hodnotu menší nebo rovnu 90 st, protože odchylka dvou přímek je úhel menší z úhlů vedlejších

Při určování úhlu beta by vektory měly vycházet z jednoho bodu, tj bodu B, vektory BA=A-B, BC=C-B

KennyMcCormick · 26. 10. 2009 20:06

↑ marnes:
Aha, já jsem byl líný číst zadání.

Chrpa · 26. 10. 2009 20:11

↑ VE3V1:
Podívej se na obrázek kde je úhel $\beta$ nás tedy učili, že je to u vrcholu B

VE3V1 · 26. 10. 2009 20:12

to přeci v tomto případě ale není absolutí hodnota ale velikost úhlů, aspon nam to tedy ucitelka rikala, ale nevim asi máte pravdu...

VE3V1 · 26. 10. 2009 20:15

samozrejme ten je u vrcholu B ale strana B je preci protější proti vrcholu B nelí li to tak ? :(

Chrpa · 26. 10. 2009 20:16 — Editoval Chrpa (26. 10. 2009 20:19)

↑ marnes:
Tak tedy takto:
$u=B-A=(2-(-2)\,;\,4-2)=(4\,;\,2)$
$v=B-C=(2-5\,;\,4+3)=(-3\,;\,7)$
$u\cdot v=4\cdot (-3)+2\cdot 7=2$

Chrpa · 26. 10. 2009 20:22 — Editoval Chrpa (26. 10. 2009 20:33)

↑ VE3V1:
Ühel $\beta$ je při vrcholu B a je to úhel, který svíraji strany (přímky) AB= c a BC = a

VE3V1 · 26. 10. 2009 20:37

asi jsem debil ale opravdu nevím proč to tak je :D kdyz mam například tento trojůhelník

Code:

http://tahaky.lam.cz/geom/tr01.jpg

tak tam přeci vlastně úhel beta je dán díky stanám AC nevim no... asi uz toho mam moc :D

Chrpa · 26. 10. 2009 20:42

↑ VE3V1:
Stranou AB je myšlena strana, která je určena body A a B
Stranou BC je myšlena strana, která je určena body B a C

VE3V1 · 26. 10. 2009 20:44

tak už je mi to jasné díky :))

VE3V1 · 26. 10. 2009 21:48

ještě pro kontrolu mohli by jste mi říci jak budou vypadat ostatní strany např u počítání úhlu alfa a gama ?

Chrpa · 26. 10. 2009 22:30 — Editoval Chrpa (26. 10. 2009 22:31)

↑ VE3V1:
Úhel $\gamma$ :
$u=C-B=(5-2\,;\,-3-4)=(3\,;\,-7)\nlv=C-A=(5-(-2)\,;\,-3-2)=(7\,;\,-5)\nlu\cdot v=3\cdot 7+(-7)\cdot(-5)=56$
$|u|=\sqrt{(5-2)^2+(-3-4)^2}=\sqrt{58}$ je to vlastně délka strany BC
$v|=\sqrt{(7^2+(-5)^2}=\sqrt{74}$ je to délka strany AC
$\cos\,\gamma=\frac{|u\cdot v|}{|u|\cdot |v|}=\frac{56}{\sqrt{58}\cdot\sqrt{74}}=\frac{28}{\sqrt{1073}}\nl\gamma\dot=31^\circ\,16^'$

Úhel $\alpha$ dopočítáš do $180^\circ$

VE3V1 · 30. 10. 2009 20:41

Ahoj, bohužel tento výsledek není platný počítali jsme to s učitelkou a ta došla k jasnému závěru že cos beta = 50°54´ :( prosím proto jestli to někdo můžete přepočítat hlavní problém je tu v tom, že ona počítala a= BC, a=C-B, A= (4,3), -c= (8,-2) moc vás prosím o pomoc :( díky všem

VE3V1 · 30. 10. 2009 20:47

↑ VE3V1:to male A je faktoriál který prý rovnou nahrazen za U a za V dosadila -C faktorial

celý vzorec pak vypadá cos beta = a . (-c) lomeno |a|.|c|

marnes · 30. 10. 2009 20:53

↑ VE3V1:
Toto jsou tvé zadané body
A[-2,2]
B[2, 4]
C[5,-3]

úhel beta je u vrcholu B a je sevřen vektory BA a BC
BA=A-B=(-4;-2)
BC=C-B=(3;-7)

dosadím do vzorce a úhel je 86 st 38 min, tak jak už psal Chrpa. A za tím si stojím, pokud jste nepočítali s jinými čísly!!!

VE3V1 · 30. 10. 2009 20:59

↑ marnes: tak ted jsi to ale napsal uplne jinak nez chrpa ten tam ma zase B-A a B-C

marnes · 30. 10. 2009 21:02

↑ VE3V1:Už jsem jednou o tom psal v #9.

Matematické Fórum

#1 24. 10. 2009 12:52

Vektory

#2 24. 10. 2009 12:56

Re: Vektory

#3 24. 10. 2009 13:03 — Editoval septolet (24. 10. 2009 13:05)

Re: Vektory

#4 24. 10. 2009 13:53

Re: Vektory

#5 25. 10. 2009 11:11 — Editoval Chrpa (26. 10. 2009 14:47)

Re: Vektory

#6 26. 10. 2009 19:34

Re: Vektory

#7 26. 10. 2009 19:55

Re: Vektory

#8 26. 10. 2009 19:57

Re: Vektory

#9 26. 10. 2009 20:05 — Editoval marnes (26. 10. 2009 20:07)

Re: Vektory

#10 26. 10. 2009 20:06

Re: Vektory

#11 26. 10. 2009 20:11

Re: Vektory

#12 26. 10. 2009 20:12

Re: Vektory

#13 26. 10. 2009 20:15

Re: Vektory

#14 26. 10. 2009 20:16 — Editoval Chrpa (26. 10. 2009 20:19)

Re: Vektory

#15 26. 10. 2009 20:22 — Editoval Chrpa (26. 10. 2009 20:33)

Re: Vektory

#16 26. 10. 2009 20:37

Re: Vektory

Code:

#17 26. 10. 2009 20:42

Re: Vektory

#18 26. 10. 2009 20:44

Re: Vektory

#19 26. 10. 2009 21:48

Re: Vektory

#20 26. 10. 2009 22:30 — Editoval Chrpa (26. 10. 2009 22:31)

Re: Vektory

#21 30. 10. 2009 20:41

Re: Vektory

#22 30. 10. 2009 20:47

Re: Vektory

#23 30. 10. 2009 20:53

Re: Vektory

#24 30. 10. 2009 20:59

Re: Vektory

#25 30. 10. 2009 21:02

Re: Vektory

Zápatí