Matematické Fórum

Jaros · 30. 10. 2009 10:05

Ahoj mohl by mi někdo poradit s tímto důkazem?

2^n > 2n+1

základ indukce mám ale nevím přesně jak postupovat u indukčního kroku. Díky

halogan · 30. 10. 2009 10:14

V(1): 2^1 > 2 + 1

Což očividně neplatí. Nemáte tam stanovené podmínky pro n?

Jaros · 30. 10. 2009 10:32

jj sorry pro n>2

jarrro · 30. 10. 2009 11:00 — Editoval jarrro (30. 10. 2009 11:04)

↑ Jaros: $2^3=8>2\cdot 3+1=7\nl2^{n+1}>2$2n+1$=4n+2>2$n+1$+1=2n+3$

Jaros · 30. 10. 2009 12:01

nechápu jak jsi dostal 2(2n+1) a taky jak dostanes z 2^n+1 = 4n+2

Tychi · 30. 10. 2009 12:03

↑ Jaros: $2^{n+1}=2\cdot2^n>2(2n+1)$

Jaros · 30. 10. 2009 12:21

Jo aha super díky a nevíš náhodou ješte tohle?

${n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}$

pro k>=0 a n>=k+1

Marian · 30. 10. 2009 12:28

↑ Jaros:
K tomuto ale indukci nepotřebuješ. Stačí si uvědomit, co to binomický koeficient je (jsou tam jakési faktoriály) a upravovat součet takových dvou objektů. Je to velmi rychlá záležitost.

Jaros · 30. 10. 2009 12:56

{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} jako tak to mam rozložit?

Jaros · 30. 10. 2009 12:59

${n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

FailED · 30. 10. 2009 13:21 — Editoval FailED (28. 01. 2011 13:33)

$(k+1)! = (k+1)\cdot k!$
$(k-1)! = k!/k$
Podle toho si upravis ty dva zlomky, prevedes na spolecnyho jmenovatele a sectes, nic vic v tom nehledej.

------------------------------------------------------------------------------------------
Sem si budu občas jen tak čmárat...

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^n+n^{n-1}+\ldots+n^{2n}}\cdot$1-\cos\frac{3}{n}$$

$\lim_{n\to\infty} n\cdot\sqrt[n]{\frac{n^{n+1}-1}{n-1}}\cdot$1-\cos\frac{3}{n}$$

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{n-1}}\cdot\sqrt[n]{n^n-\frac{1}{n}}\cdot$1-\cos\frac{3}{n}$\cdot n\stackrel{\tiny{\mathrm{VAL}}}{=}\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n}{n-1}}\cdot\lim_{x\to 0+}9$\frac{1}{x\frac{1}{x}}-x$^x\cdot\frac{1-\cos 3x}{9x}$

$1\cdot9\cdot\lim_{x\to\0+}x\cdot$\frac{1}{x\frac{1}{x}}-x$^x\cdot\frac{1-\cos 3x}{9x^2}\stackrel{\tiny{\mathrm{VAL}}}{=}\frac12\cdot9\cdot\lim_{x\to\0+}$1-x\cdot\sqrt[x]{x}$^x=\frac92\cdot\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1-\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n^n}}=\frac92$

$\sqrt[3]{27n^3+2n}-3n=\frac{2n}{$\sqrt[3]{27n^3+2n}$^2-\sqrt[3]{27n^3+2n}\cdot3n+(3n)^2}=\frac{2}{n\cdot$\(\sqrt[3]{27+2n^{-2}}$^2+$\sqrt[3]{27+2n^{-2}}$\cdot3+9\)}$