Matematické Fórum

r2d2 · 03. 11. 2009 15:55

Mám takový problém. Mám tři limity. O pravdivosti prvních dvou se nediskutuje, ale naopak se diskutuje o tom jestli z toho vychází limita třetí. Nejedná se (myslím) o počítání, ale o to to dokázat jestli tu třetí implikují ty dvě předchozí, či nikoliv.
První lim:
$\lim_{y\rightarrow b}g(y)=c$
Druhá lim:
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$
A ta třetí je:
$\lim_{x\rightarrow a}g(f(x))=c$
Otázka: "Platí ta třetí? A proč platí?"
Nějak mě napadlo jestli se náhodou a nervovná b, ale nevím. Taky nevím jestli mi s tím někdo poradí. Chtěl bych, ať už odpověď bude ano, či ne, vědět proč, abych z toho mohl nějak odvodit ten důkaz.
Díky moc za ochotu

Rumburak

Bez dalších předpokladů poslední tvrzení platit nemusí (příklad sestrojit není těžké).
Těmi dalšími předpoklady mohou být např.

(A) Fce g je spojitá v bodě b .

nebo

(B) Existuje okolí U bodu a, na němž platí f(x) <> b, pokud x <> a .

Viz věta o limitě složené funkce.

EDIT: Ještě doplním ten příklad, kdy Tvá hypotéza nefunguje:

f(x) := konst. = 0,
g(x) := 1 pro x<> 0 , g(0) := 0.

Potom

$\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$ , $\lim_{y\rightarrow 0}g(y)=1$ , avšak $\lim_{x\rightarrow 0}g(f(x))=g(0) = 0$ .

Pavel · 03. 11. 2009 16:07

↑ r2d2:

Pokud nekladeš na funkce f a g žádné jiné požadavky, tak existence třetí limity není zaručena, viz včerejší téma

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=11479

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2009 15:55

Tři limity

#2 03. 11. 2009 16:07 — Editoval Rumburak (04. 11. 2009 16:00)

Re: Tři limity

#3 03. 11. 2009 16:07

Re: Tři limity

Zápatí