Matematické Fórum

aviatik · 03. 11. 2009 18:31

Zdravím, preberáme momentálne dôkazy v matematike konkrétne dôkaz vynímaním deliteľa a mám problém s jedným príkladom.
Znenie: Pomocou premennej n zapíšte päť za sebou nasledujúcich prirodzených čísel. Dokážte, že súčin týchto piatich čísel je deliteľný číslami 2,3,4,5,10,15,30,60,120.

No a teraz ako na to ? V škole sme robili dôkaz len tým spôsob že sme mali zadanie že súčet x nasledujúcich prir. čísel.
Začal som tak že som si vybral 5 prir. čísel 1,2,3,4 a 5.
Potom som zapísal n;2n;3n;4n;5n. Urobil som súčin čo my vyšlo 120n^5
čo ďalej s tým? je to vôbec správny postup? pri súčte sme si robili aj zvyškové triedy pre dané číslo ale tu keď je ich 5 tak sa mi to zdá na veľmi veľa výpočtov čo asi tak nebude. Dôkazom vynímaním deliteľa aby sa nezabudlo :) Nechcem presný postup len nejaké to "nakopnutie" aby som mal aspoň šajnu :))
ďakujem

zdenek1 · 03. 11. 2009 19:09

↑ aviatik:

Chyba je zde :

Potom som zapísal n;2n;3n;4n;5n.

správně je to $n$ , $n+1$ , $n+2$ , $n+3$ $n+4$
a pak $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$

a teď budeš přemýšlet

a) mezi pěti za sebou jdoucími čísly je určitě aspoň jedno sudé, takže součin je dělitelný 2
b) mezi pěti za sebou jdoucími čísly je určitě aspoň jedno dělitelné 3, takže součin je dělitelný 3
c) .......................4...............
d) .......................5...............

atd.

aviatik · 03. 11. 2009 19:30

zdenek1 napsal(a):
↑ aviatik:

Chyba je zde :
Potom som zapísal n;2n;3n;4n;5n.
správně je to $n$ , $n+1$ , $n+2$ , $n+3$ $n+4$
a pak $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$

a teď budeš přemýšlet

a) mezi pěti za sebou jdoucími čísly je určitě aspoň jedno sudé, takže součin je dělitelný 2
b) mezi pěti za sebou jdoucími čísly je určitě aspoň jedno dělitelné 3, takže součin je dělitelný 3
c) .......................4...............
d) .......................5...............

atd.

No áno... trochu mi to pomohlo :) lenže ja to potrebujem zapísať vo forme vynímaním deliteľa... a keď to všetko vynásobím a dosadím vo výraze $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$ za "n" zvyškové triedy čísla 2 najprv tak sú to horibilné a strašné výpočty... niekde musí byť chyba..

zdenek1 · 03. 11. 2009 19:38

↑ aviatik:

TAk si to rozděl na dvě varianty, a) n je sudé $n=2k$ , b) n je liché $n=2k+1$

a neroznásobuj to!!!, nech to v součinu a vytýkej.

aviatik · 03. 11. 2009 19:49

No tak som si to zapísal takto:
Odkaz
ale ako môžem vybrať pred zátvorku keď tam mám aj nepárne čísla?? alebo som niečo nepochopil? :)

zdenek1 · 03. 11. 2009 19:56

↑ aviatik:
Ale pochopil. Tímhle dokážeš jen dělitelnost dvěma a čtyřmi.

Pro trojku bys to musel dělat na tři varianty 3n, 3n+1, 3n+2

A pro pětku 5n, 5n+1, 5n+2, 5n+3, 5n+4

ALe to je stašně hloupé. Já bych to dělaltak, jak jsem naznačil poprvé.

aviatik · 03. 11. 2009 20:00

zdenek1 napsal(a):
↑ aviatik:
Ale pochopil. Tímhle dokážeš jen dělitelnost dvěma a čtyřmi.

Pro trojku bys to musel dělat na tři varianty 3n, 3n+1, 3n+2

A pro pětku 5n, 5n+1, 5n+2, 5n+3, 5n+4

ALe to je stašně hloupé. Já bych to dělaltak, jak jsem naznačil poprvé.

No hlúpe mi to príde tiež... no učebnica žiada (asi) takýto spôsob... dokazaovať delitelnsot 120kou by bolo už trochu blbé :D nič nechám to tak a zajtra sa spýtam profky..
ďakujem aj tak :)

zdenek1 · 03. 11. 2009 20:10

↑ aviatik:

Ale ty vyšší násobky už můžeš dokazovat pomocí těch do pěti. Když je dělitelné 8, 5, a 3, tak je dělitelné 120 atd.

Takhle hloupě to stačí do pěti. V tom prvním dělení na sudé a liché dokážeš i osmičku.

aviatik · 03. 11. 2009 20:15

zdenek1 napsal(a):
↑ aviatik:

Ale ty vyšší násobky už můžeš dokazovat pomocí těch do pěti. Když je dělitelné 8, 5, a 3, tak je dělitelné 120 atd.

Takhle hloupě to stačí do pěti. V tom prvním dělení na sudé a liché dokážeš i osmičku.

No jo ale ako potom v tomto výraze Odkaz vyberiem pred zátvorku dvojku ak sa tam nachádzajú aj nepáre čísla??

zdenek1 · 03. 11. 2009 20:25

↑ aviatik:Nerozumím, na co se teď ptáš.

$2k(2k+1)(2k+2)(2k+3)(2k+4)=8k(2k+1)(k+1)(2k+3)(k+2)$

Toto číslo je jistě dělitelné osmi (vlastně i 16-ti, protože z čísel k+1, k+2 je jedno určitě sudé)

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2009 18:31

Dôkaz

#2 03. 11. 2009 19:09

Re: Dôkaz

#3 03. 11. 2009 19:30

Re: Dôkaz

zdenek1 napsal(a):

#4 03. 11. 2009 19:38

Re: Dôkaz

#5 03. 11. 2009 19:49

Re: Dôkaz

#6 03. 11. 2009 19:56

Re: Dôkaz

#7 03. 11. 2009 20:00

Re: Dôkaz

zdenek1 napsal(a):

#8 03. 11. 2009 20:10

Re: Dôkaz

#9 03. 11. 2009 20:15

Re: Dôkaz

zdenek1 napsal(a):

#10 03. 11. 2009 20:25

Re: Dôkaz

Zápatí