Matematické Fórum

Roomy · 04. 11. 2009 21:22

Zdravíčko, narazil jsem v té záplavě řad na jednu, kterou nemohu vypočíst :(
Jedná se o řadu:
sum ((3/(4^(2*n-1)))+2/(4^(2*n))), n=1 to inf
nebo lépe na Wolframalfa. Mšlo by to vyjít 14/15, ale how to???
Vím, že si to musím rozdělit na dva zlomky, kde vytknu 3ku u prvního a 2ku u druhého. Potom mám již vzorec q^n, v podstat2 mocninou řadu. Jenomže ne a ne na to přijít jak je tam 2n-1. Děkuji za snahu.

u_peg · 04. 11. 2009 21:59 — Editoval u_peg (04. 11. 2009 22:20)

$\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{3}{4^{2n-1}} + \frac{2}{4^{2n}} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{3}{\frac{4^{2n}}{4}} + \frac{2}{4^{2n}} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{3\cdot 4}{4^{2n}} + \frac{2}{4^{2n}} \right) = 14\cdot\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{4^{2n}} \right) = \frac{14}{15}$

$s_n = a_1\frac{q^n - 1}{q-1}$
$a_1 = 16^{-1}$
$q = 16^{-1}$
$\lim_{n\to+\infty} s_n = \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{16}\cdot\frac{\left(\frac{1}{16}\right)^{2n}-1}{\frac{1}{16}-1} = \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{16}\cdot\left(\left(\frac{1}{16}\right)^{2n}-1\right)\cdot\frac{-16}{15} = \frac{1}{15}$

Matematické Fórum

#1 04. 11. 2009 21:22

nekonečná řada

#2 04. 11. 2009 21:59 — Editoval u_peg (04. 11. 2009 22:20)

Re: nekonečná řada

Zápatí