Matematické Fórum

Zemish · 05. 11. 2009 20:00

Do rovnostranného trojúhelníku ABC, jehož strana má délku a, je vepsán čtverec. Vypočítejte délku strany čtverce.

Prosím, potřebuji řešení. Výsledek už mám. Děkuji.

Alivendes · 05. 11. 2009 20:19

nakresli si to,vylezou ti tam pravouhle trojuhelniky u nichž vypočítáš přeponu což je strana ctverce

Zemish · 05. 11. 2009 21:30

Tak jednoduchý to není! Přepona těch pravých trojúhelníku se přeci nerovná straně čtverce?!

Alivendes · 05. 11. 2009 22:03

teda promin jedna odvesna ....plati proto ze jedna odvesna je a/4 druha a/2 tkze s=(a2/16+a2/4)2

Ivana · 05. 11. 2009 22:15

↑ Zemish:

Zemish · 05. 11. 2009 22:21

Výsledek, který je ověřený by měl být: a . (2√3 - 3). Tohle z tvého řešení však neplyne...?!

jelena · 05. 11. 2009 22:28 — Editoval jelena (05. 11. 2009 22:30)

↑ Zemish:

Zdravím,

je potřeba uvažovat podobnost pravouhlých trojuhelníků - jeden "velký" tvořeny a/2 a výškou původního rovnostranného trojuhelníku a druhý "malý" - tvořený (a/2-x/2) a x.

x - strana čtverce

Zvladneš to už dořešit?

Zemish · 05. 11. 2009 22:30

jelena napsal(a):
↑ Zemish:

Zdravím,

je potřeba uvažovat podobnost pravouhlých trojuhelníků - jeden "velký" tvořeny a/2 a výškou původního rovnoramenného trojuhelníku a druhý "malý" - tvořený (a/2-x/2) a x.

x - strana čtverce

Zvladneš to už dořešit?

Obávám se, že ne...

jelena · 05. 11. 2009 22:37

↑ Zemish:

bohužel, teď nemám čas: takový náznak

Zemish · 05. 11. 2009 22:44

Když vyjádřím X, dostanu výsledek?

Chrpa · 05. 11. 2009 22:48 — Editoval Chrpa (05. 11. 2009 23:27)

↑ Alivendes:
Podle obrázku a z podobnosti trojúhelníků platí:

$\frac va=\frac{v-x}{x}\nlx\cdot v=a\cdot v-a\cdot x\nla\cdot v=x(a+v)\nlx=\frac{a\cdot v}{a+v}$
Uvážíme-li, že výška v rovnostranném trojúhelníku je $v=\frac a2\cdot\sqrt3$ (Pythagorova věta) platí totiž: $a^2=v^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$ a dosadíme do vztahu výše dospějeme:
$x=\frac{\frac{a^2\sqrt3}{2}}{a+\frac{a\sqrt3}{2}}\nlx=\frac{a^2\sqrt3}{2a+a\sqrt3}\nlx=\frac{a\sqrt3}{2+\sqrt3}\nlx=\frac{a\sqrt3(2-\sqrt3)}{4-3}\nlx=a(2\sqrt3-3)$

Zemish · 05. 11. 2009 22:55

nerozumím (v-x)/x??

Zemish · 05. 11. 2009 22:56

X je přeponou?

Chrpa · 05. 11. 2009 23:02 — Editoval Chrpa (05. 11. 2009 23:11)

↑ Zemish:
v - x je část výškynad čtvercem
x je strana čtverce, tj. ta zelená. (čtverec je zelený)

Zemish · 05. 11. 2009 23:09

Objasni mi, prosím, tento poměr: v/a = (v-x)/x

Chrpa · 05. 11. 2009 23:15

↑ Zemish:
Ten malý trojúhelník nad čtvercem je podobný s celým trojúhelníkem.
Výška velkého trojúhelníku : straně trojúhelníku (poměr) je stejný jako poměr:
výška malého trojúhelníku : straně čtverce
čili:
$\frac va=\frac{v-x}{x}$

Zemish · 05. 11. 2009 23:22

Stále se v tom nemohu orientovat! Musím...se na to mknout pořádně

Zemish · 05. 11. 2009 23:26

jE TO TAK?

Chrpa · 05. 11. 2009 23:29

↑ Zemish:
v = výška celého trojúhelníku
v - x = výška malého trojúhelníku na zeleným čtvercem
x = strana čtverce jsou to ty zeléné čáry.

Zemish · 05. 11. 2009 23:33

Výška velkého trojúhelníku : straně trojúhelníku (poměr) je stejný jako poměr:
výška malého trojúhelníku : straně čtverce

Proč tomu tak je?

Zemish · 05. 11. 2009 23:41

Konečně jsem na to kápnul....posílám velký dík!

Cheop · 06. 11. 2009 08:32

↑ Zemish:
Takto to bude rychlejší:
Obrázek:

$\sin\,60^\circ=\frac{x}{a-x}\nl\frac{\sqrt3}{2}=\frac{x}{a-x}\nl2x=\sqrt 3\,a-\sqrt 3\,x\nlx(2+\sqrt 3)=\sqrt 3\,a\nlx=\frac{\sqrt 3\,a}{2+sqrt 3}\nlx=\frac{\sqrt 3\,a(2-\sqrt 3)}{4-3}\nlx=a(2\sqrt 3-3)$

Filip007 · 20. 09. 2023 19:43

↑ Chrpa: jak jste prosím dosáhl toho násobení (krok 2) ?

check_drummer · 21. 09. 2023 20:38

↑ Filip007:
Ahoj, co myslíš tím krokem 2?

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2009 20:00

Úloha z planimetrie

#2 05. 11. 2009 20:19

Re: Úloha z planimetrie

#3 05. 11. 2009 21:30

Re: Úloha z planimetrie

#4 05. 11. 2009 22:03

Re: Úloha z planimetrie

#5 05. 11. 2009 22:15

Re: Úloha z planimetrie

#6 05. 11. 2009 22:21

Re: Úloha z planimetrie

#7 05. 11. 2009 22:28 — Editoval jelena (05. 11. 2009 22:30)

Re: Úloha z planimetrie

#8 05. 11. 2009 22:30

Re: Úloha z planimetrie

jelena napsal(a):

#9 05. 11. 2009 22:37

Re: Úloha z planimetrie

#10 05. 11. 2009 22:44

Re: Úloha z planimetrie

#11 05. 11. 2009 22:48 — Editoval Chrpa (05. 11. 2009 23:27)

Re: Úloha z planimetrie

#12 05. 11. 2009 22:55

Re: Úloha z planimetrie

#13 05. 11. 2009 22:56

Re: Úloha z planimetrie

#14 05. 11. 2009 23:02 — Editoval Chrpa (05. 11. 2009 23:11)

Re: Úloha z planimetrie

#15 05. 11. 2009 23:09

Re: Úloha z planimetrie

#16 05. 11. 2009 23:15

Re: Úloha z planimetrie

#17 05. 11. 2009 23:22

Re: Úloha z planimetrie

#18 05. 11. 2009 23:26

Re: Úloha z planimetrie

#19 05. 11. 2009 23:29

Re: Úloha z planimetrie

#20 05. 11. 2009 23:33

Re: Úloha z planimetrie

#21 05. 11. 2009 23:41

Re: Úloha z planimetrie

#22 06. 11. 2009 08:32

Re: Úloha z planimetrie

#23 20. 09. 2023 19:43

Re: Úloha z planimetrie

#24 21. 09. 2023 20:38

Re: Úloha z planimetrie

Zápatí