Matematické Fórum

Mischelinka · 07. 11. 2009 15:46

Prosím, kolik vyjde determinant v této matici? Je to ze vzorového testu. Jen bych si to chtěla ověřit, ale mám takové zlé tušení, že mi to vyšlo jinak. Postupovala jsem tak, že jsem matici upravila do schodovitého tvaru a pak vynásobila prvky na diagonále. Děkuji.

0 1 3 0 0
0 1 0 0 0
2 2 2 1 2
1 3 1 2 0
2 4 1 1 0

Oxyd · 07. 11. 2009 15:55

Vychází mi 18.

Možná chyba, kterou si mohla udělat je ta, že při provádění elementárních úprav, kterýma si převáděla tu matici do schodového tvaru, se determinant mění -- ovšem takovým hezkým způsobem, že pak jde snadno dopočítat determinant původní matice.

A tahle matice přímo vybízí k výpočtu Laplaceovým rozvojem -- ve třech krocích sem to měl hotové.

Mischelinka · 07. 11. 2009 16:10

↑ Oxyd:
Tady čtu, že když vynásobim řádek nenulovou konstantou, změní se o tento násobek i hodnota determinantu. Já jsem násobila celkem dost, ale determinant mi vyšel jen 3x větší, než by měl... A vůbec netušim proč.

LukasM · 07. 11. 2009 16:14

↑ Mischelinka:
To můžeme těžko posoudit, když nevidíme tvoje úpravy. Dost možná jsi někde nějaký řádek zase něčím dělila, takže se to trochu srovnalo. Jinak když k libovolnému řádku/sloupci přičteš lineární kombinaci ostatních (nějaký násobek), tak to determinant nezmění. Takže jsi možná vlastně nenásobila zas tolik jak si myslíš. Nebo tam máš někde numerickou chybu a je to jen náhoda.

Každopádně počítat to pomocí rozvíjení podle nějakých sloupců/řádků je tady fakt daleko daleko jednodušší, jak píše Oxyd.

Oxyd · 07. 11. 2009 16:28 — Editoval Oxyd (07. 11. 2009 16:30)

Ještě pro přehlednost -- máme tři elementární úpravy:
1) Přičtení k-násobku jednoho řádku ke druhému -- tím se determinant nezmění;
2) Vynásobení jednoho řádku konstantou k -- tím se determinant zvětší k-násobně;
3) Prohození dvou řádku -- tím se determinantu otočí znaménko (vynásobí se -1).

Když začnu upravovat tu matici...

0 1 3 0 0
0 1 0 0 0
det 2 2 2 1 2 =
1 3 1 2 0
2 4 1 1 0

Ty dva řádky, co začínaj nulou bych chtěl mít vespod. Prohodím první s předposledním -- tím se determinantu změní znaménko, ale snadná pomoc -- prostě výsledek přenásobím -1:

1 3 1 2 0
0 1 0 0 0
= -det 2 2 2 1 2 =
0 1 3 0 0
2 4 1 1 0

Teď ještě druhý s posledním:

1 3 1 2 0
2 4 1 1 0
= det 2 2 2 1 2 =
0 1 3 0 0
0 1 0 0 0

Od druhého odečtu dvojnásobek prvního -- determinant se nezmění. Rovnou můžu i odečíst od třetího dvojnásobek prvního:

1 3 1 2 0
0 -2 -1 -3 0
= det 0 -4 0 0 2 =
0 1 3 0 0
0 1 0 0 0

Třetí řádek můžu vynásobit 1/2 -- determinant vzniklé matice bude 1/2-násobek determinantu původní -- opět snadná pomoc, vynásobím determinant vzniklé matice dvojkou a budu tak zase mít determinant původní matice:

1 3 1 2 0
0 -2 -1 -3 0
= 2det 0 -2 0 0 1 =
0 1 3 0 0
0 1 0 0 0

A tak dále. Asi to zabere trochu času -- rozvoj dle řádku je rozhodně snažší.

Mischelinka

↑ LukasM a Oxyd:
Už jsem na to asi přišla. No, musim si asi vystačit s touhle metodou, protože netušim co je ten rozvoj zač a dost se mi krátí čas. Vůbec nevim, co bych dělala, kdybych nenašla tyhle stránky. Už na přijímačky mi jste mi tady pomohli a já jsem za to nesmírně vděčná.

ondrej.hav · 07. 01. 2010 22:21

Mohu používat při výpočtu determinantu řádkové i sloupcové upravy spolu? nebo jenom jedny? Mám determinant z matice $\begin{pmatrix} (sin(\alpha))^2 & 1 & (cos(\alpha))^2\nl(sin(\beta))^2 & 1 & (cos(\beta))^2\nl(sin(\gamma))^2 & 1 & (cos(\gamma))^2 \end{pmatrix}$ tak jestli muzu pricist 3. sloupec k prvnimu. tim dostanu $\begin{pmatrix} (1 & 1 & (cos(\alpha))^2\nl1 & 1 & (cos(\beta))^2\nl1 & 1 & (cos(\gamma))^2 \end{pmatrix}$ a pak od 2. a 3. radku odecist 1. a tim ziskat $\begin{pmatrix} (1 & 1 & (cos(\alpha))^2\nl0 & 0 & (cos(\beta))^2-(cos(\alpha))^2\nl0 & 0 & (cos(\gamma))^2-(cos(\alpha))^2 \end{pmatrix}$ a ten det je potom nula? je to možný?

LukasM · 07. 01. 2010 22:32

↑ ondrej.hav:
Transponování matice nemění determinant, takže můžeš používat sloupcové úpravy. Můžeš si to představit jako transpozici, řádkovou úpravu a transpozici zpátky.
A ten determinant je opravdu nula, a je to vidět už ze druhé úpravy - dva sloupce jsou stejné, takže je od sebe můžeš odečíst a je to. Determinant singulární matice je nula (dá se na to dívat i jinak).

ondrej.hav · 07. 01. 2010 23:58

↑ LukasM:Ještě jsem to totiž zkoušel sarusovo pravidlem, ale to sem nejak neumel upravit. vyslo tam $\cos ^2b\,\sin ^2c+\cos ^2a\,\left(\sin ^2b-\sin ^2c\right)+\sin ^2 a\,\left(\cos ^2c-\cos ^2b\right)-\sin ^2b\,\cos ^2c$ . Tak nevim...

LukasM · 08. 01. 2010 00:19

↑ ondrej.hav:
Sarrusovým pravidlem to jde taky, ale proti tomu tvému původnímu postupu je to strašná prasečina. To cos napsal je dobře. Když si všechny cosiny převedeš na siny pomocí vztahu $sin^2x+cos^2x=1$ , tak se ti všechny členy odečtou a vyjde nula.

Nicméně to jen ukazuje, že při výpočtu determinantu se vyplatí myslet hlavou, ušetří to často dost práce.

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2009 15:46

Determinant

#2 07. 11. 2009 15:55

Re: Determinant

#3 07. 11. 2009 16:10

Re: Determinant

#4 07. 11. 2009 16:14

Re: Determinant

#5 07. 11. 2009 16:28 — Editoval Oxyd (07. 11. 2009 16:30)

Re: Determinant

#6 07. 11. 2009 16:30 — Editoval Mischelinka (07. 11. 2009 16:32)

Re: Determinant

#7 07. 01. 2010 22:21

Re: Determinant

#8 07. 01. 2010 22:32

Re: Determinant

#9 07. 01. 2010 23:58

Re: Determinant

#10 08. 01. 2010 00:19

Re: Determinant

Zápatí