Matematické Fórum

FM · 08. 11. 2009 13:23

dobrý den
potřeboval bych poradit jak si převadu sin(3x)=sin(2x)-sin x
jak mám rozložit sin(3x)? na 3sinx × cosx?
a pak mám rovnici cos(3x)=4cosx ×cos(2x)
cos(3x) s tímhle se dá dělat co?
díky za pomoc

Olin · 08. 11. 2009 13:55

Goniometrické funkce s trojnásobným argumentem si buď můžeš upravit jako $\sin(2x + x)$ a $\cos(2x + x)$ , kde pak postupuješ podle součtových vzorců a vzorců pro dvojnásobný argument, nebo lze využít binomickou a Moivreovu větu podobně jako tady. Výsledky jsou tady a tady.

Jinak v první rovnici bych doporučil převést sin x na pravou stranu, kde pak $\sin 3x + \sin x$ upravíme podle vzorce pro součet sinů a už to bude trochu hezčí. Ve druhé bych asi upravil na rovnici, kde budou jenom cos x, zavedl substituci a nějak vyřešil.

FM · 08. 11. 2009 13:58

sin(3x)=sinx × cos(2x)+ cosx × sin(2x)
cos(3x)=sinx × cos(2x)- cosx × sin(2x)
takhle?

zdenek1 · 08. 11. 2009 14:00

↑ FM:
$\sin3x=\sin2x-\sin x$
$\sin(2x+x)=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=\sin2x-\sin x$
$\sin x(2\cos^2x+\cos2x-2\cos x+1)=0\ \Leftrightarrow\ \sin x=0\ \vee\ 2\cos^2x+\cos2x-2\cos x+1=0$

a) $\sin x=0$ , $x_1=k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$
b) $2\cos^2x+\cos2x-2\cos x+1=0$
$2\cos^2x+2\cos^2-1-2\cos x+1=0$
$2\cos x(2\cos x-1)=0$
b1) $\cos x=0$ $x_2=\frac{\pi}{2}+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$
b2) $\cos x =\frac12$ $x_{3,4}=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$

Olin · 08. 11. 2009 14:18

↑ FM:
Sinus je dobře, kosinus ne.
$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ .

FM · 08. 11. 2009 14:45

u té první mi vyšlo sinx=0 X=kπ
Cosx=0
X=π/2+kπ
Cosx=1/2
X=π/3+k2π
X=5/3+k2π

FM · 08. 11. 2009 15:07

druhá mi vyšla zatím Cos=0
1-4sin^2x-8cosxsinx=0 mám to dobře? a ded to umocnit na druhou?
díky za rady

Olin · 08. 11. 2009 17:09

První máš dobře. Není mi jasné, odkud jsi vzal 1-4sin^2x-8cosxsinx=0.
Jinak výsledky dvojky by měly být
$x_1 = \frac{\pi}{2} + k \pi\nl x_2 = \frac{\pi}{3} + k \pi\nl x_3 = \frac{2\pi}{3} + k \pi\nl k \in \mathbb{Z}$ .

FM · 08. 11. 2009 17:29

j paráda mám to. tak tu rovnici co jsem psal tamk jsem omylem dosadil za cos(2x) sin(2x)
díky fakt jste mi pomohli

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2009 13:23

goniometrická rovnice

#2 08. 11. 2009 13:55

Re: goniometrická rovnice

#3 08. 11. 2009 13:58

Re: goniometrická rovnice

#4 08. 11. 2009 14:00

Re: goniometrická rovnice

#5 08. 11. 2009 14:18

Re: goniometrická rovnice

#6 08. 11. 2009 14:45

Re: goniometrická rovnice

#7 08. 11. 2009 15:07

Re: goniometrická rovnice

#8 08. 11. 2009 17:09

Re: goniometrická rovnice

#9 08. 11. 2009 17:29

Re: goniometrická rovnice

Zápatí