Matematické Fórum

Kein · 06. 11. 2009 20:54

Zdravím vás...

Jsem pár let ze školy a nyní bych si chtěl vzdělání rozšířit, ale to jsem se kdysi naučil, jsem už zapoměl.
Studuju dálkově při práci a nemám tolik možností se na některé aspekty matematiky někoho zeptat, proto se s mojí prosbou obracím na vás.

Abych přešel k problému - mám potíže s pochopením matematické indukce, resp. s ověřením.

Mějme definováno - $1+3+5+...+n = n^2$

Pro toto jsem definoval - $\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n^2$ , kdy pro 1. indukční krok vztah pro $n=1$ platí.

U 2. indukčního kroku předpokládám, že pokud platí $n=k$ pro nějakou hodnotu, potom bude platit i pro hodnotu $n=k+1$

Definoval jsem - $\sum_{i=1}^{k}(2i-1)=k^2$ pro $n=k$ a potom $\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)=(k+1)^2$ pro $n=k+1$

Až do tohoto místa tomu rozumim (postupu)...ovšem pokud jsem se to pokoušel ověřit, nevycházelo mi to.

Postupoval jsem takto - $\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1)=(\sum_{i=1}^{k}(2i-1))+(2(k+1)-1)=n^2+2n$

Pokud se do výsledku pokusim zadat nějakou hodnotu, nevychází mi to se součtem.

Mohli by jste mi prosím říci, kde dělám chybu a případně mi postup osvětlit krok za krokem?
Předem děkuji za ochotu

FailED · 06. 11. 2009 21:14

Nezapomels jen v tom overovani roznasobit zavorku? Podle mne bys tam mel mit $n^2 + 2n + 1$

Kein · 06. 11. 2009 21:19 — Editoval Kein (06. 11. 2009 21:21)

↑ FailED: OOps...už to vidim...jsem to ale jouda... Dík moc za upozornění :)

halogan · 06. 11. 2009 21:21

↑ Kein:

No máš rovnici:

$\text{suma} + 2k + 2 - 1 = (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1 \nl \text{suma} = k^2 \nl k^2 + 2k + 1 = k^2 + 2k + 1$

Hotovo.

(nechtěl jsem vypisovat tu sumu, to je snad jasné)

FailED · 06. 11. 2009 21:22 — Editoval FailED (06. 11. 2009 21:24)

↑ Kein:
I to se stava (-:

martanko

↑ Kein:
mas postupnost $1+3+5+...$ vseobecny clen nie je $n$ ale $2n-1$

podme od zaciatku

1. 1 = 1
2. 1+3 = 4
3. 1+3+5 = 9
4. 1+3+5+7 = 16
5. 1+3+5+7+9 = 25 teda sucet vychadzaju druhe mocniny

podme na indukciu

1. krok, $n=1$ tvrdenie plati, lebo $2.1-1=1$
2. krok, chcem dokazat, ze ak plati V(k), tak plati aj V(k+1), teda ak $[1+3+5+...+(2k-1) = k^2]$ ==TOTO je vlastne indukcny predpoklad==, tak potom $[1+3+5+...+(2k-1)+(2{k+1}-1)]=(k+1)^2$
to si rozdelime takto: $k^2+(2k+1) = k^2+2k+1 = (k+1)^2$ co sme mali dokazat

Kein · 06. 11. 2009 21:36

↑ martanko: Moc děkuji za osvětlení...už vidim i některé z chyb, které jsem předtím ve svých výpočtech dělal...

Plně doufám, že jsem tuto metodu pochopil a chci i poděkovat všem, kteří přispěli. Jen to bude ještě chtít tu tzv. početní praxi, aby se mi to dostalo tzv. pod kůži.

Kein · 08. 11. 2009 18:53

Zde bych měl ještě doplňující otázku...

Zkoušel jsem si nějaké příklady na matematickou indukci a u jednoho jsem narazil.

Příklad zní:

$\sum_{i=1}^{n}i2^i=(n-1)2^{n+1}+2$ tedy $1\cdot2^1+2\cdot2^2+...+n\cdot2^{n}$

Pro $n=1$ jsem definoval $i2^i-1=(n-1)2^{n+1}+2-1$ - $1=1$ - ovšem zde nevim, jestli tento krok je správný

Potom - $n=k$ => $n=k+1$ tedy

$\sum_{i=1}^{k}i2^i=(k-1)2^{k+1}+2$ a $\sum_{i=1}^{k+1}i2^i((k+1)-1)2^{((k+1)+1)}+2$

Ověření:

$\sum_{i=1}^{k+1}i2^i=(\sum_{i=1}^{k}i2^i)+((k+1)\cdot2^{k+1})=((k-1)2^{k+1}+2)+((k+1)2^{k+1})=$ a zde jsem skončil a už nevim jak dál...

Pomohl by mi někdo, jak se z toho vymotat?

Ověřením mi tedy spíše vychází, že platnost vztahu levé a pravé strany se nerovná.