Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Cantorova množina (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 08. 11. 2009 19:17 — Editoval Pavel (09. 11. 2009 18:31)
Cantorova množina
Nechť C je Cantorova množina. Určete C+C, kde sčítání dvou číselných množin je deffinováno takto:
EDIT: dvojtečka doplněna :-)
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
. Řešení znám, takže nechávám ostatním.#3 13. 11. 2009 09:51 — Editoval Rumburak (13. 11. 2009 14:51)
Re: Cantorova množina
Je to nakonec jednodušší, než jsem si původně myslel (neznal jsem to).
![$C + C = [0,\,2]$](/mathtex/67/677b9df623a6bf1769b44ebe95f0db0d.gif "kopírovat do textarea")
.
v (1) je zřejmá, neboť ![$C\subseteq[0,\,1]$](/mathtex/af/afd8622a723a753b7990558900afdafd.gif "kopírovat do textarea")
.
v (1) zvolme ![$z\in[0,\,2]$](/mathtex/08/08e2d28c2bddc8b16a23f35e816e49b1.gif "kopírovat do textarea")
a nalezněme čísla 
splňující 
. 
jsou charakterisována možností zapsat je ve tvaru 
,
.![$u \,:= \frac {z}{2}\in [0,\,1]$](/mathtex/fd/fd6500e022058bdc4a74405cb7ac2a70.gif "kopírovat do textarea")
a vyjádřeme ho ve tvaru 
,
viz (3). Nyní definujme posloupnosti 
následovně:
, pak 
,
, pak 
,
, pak 
,
a položme 
, 
. 
, proto 
, přičemž čísla 
mají vlastnost (2) .Offline
#4 19. 11. 2009 15:50
Re: Cantorova množina
↑ Rumburak:
To je přesně ono. Tak mě napadlo rozšířit tuto úlohu:
Najděte množinu ![$D\subset[0,1]$](/mathtex/89/89be0c6a3f89035b9bf41d31628c4541.gif "kopírovat do textarea")
takovou, že 
, kde 
je Cantorova množina a sčítání množin je definováno obvyklým způsobem.
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#5 21. 11. 2009 11:46 — Editoval Rumburak (24. 11. 2009 10:24)
Re: Cantorova množina
↑ Pavel:
Zdravím na Horní Bečvu a děkuji za další pěknou úlohu. I tentokrát byl Duch Svatý ke mně milostiv a osvítil mne . :-)
bych ještě změkčil, formulace úlohy by pak vypadala takto:
a pouze takovéto číslo lze vyjádřit ve tvaru
, kde 
. 
, pak číslo 
splňuje podmínku (2), proto ![$z \in C \subseteq [0,\,1]$](/mathtex/bb/bbd842aaff48373db1b476dae6d8eba6.gif "kopírovat do textarea")
, takže ![$x = \frac {z}{2} \in [0,\,\frac {1}{2}]$](/mathtex/b9/b9befc307ed84ae4b71f248cf400d154.gif "kopírovat do textarea")
, odtud ![$D \subseteq [0,\,\frac {1}{2}]$](/mathtex/5d/5ddfae4b7295cdc1954f0ce6a4fad111.gif "kopírovat do textarea")
.
. Součet 
lze pro ![$x,y \in [0,\,\frac {1}{2}]$](/mathtex/d6/d646a3f0d9c23e1b2946ff757aa6ee1f.gif "kopírovat do textarea")
realisovat jedině volbou 
, takže aby platilo 
. 
. Součet 
lze pro 
, takže aby platilo 
. 
. Pak ale číslo 
má vlastnost (2), tedy 
.![$C \subseteq [0, \,1]$](/mathtex/18/180517ea7b1d3c96a8c4e4bb7440726f.gif "kopírovat do textarea")
, 
, 
a obdrželi bychom týž výsledek. Offline
#6 26. 11. 2009 11:09 — Editoval Pavel (26. 11. 2009 11:10)
Re: Cantorova množina
↑ Rumburak:
Moc hezké řešení. Napadl, mě ještě jeden problém. Cantorova množina C je konstruována tak, že interval [0,1] se rozdělí na tří části a každá část znovu na tři části atd. Takže číslo 3 zde hraje důležitou roli. Tak co tak zkusit najít podmnožinu intervalu [0,1], označme ji opět D, takovou, že D+D+D=C. Zatím jsem nezkoumal otázku řešitelnosti, takže netuším, jak to vše vyjde :-)
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline
#7 27. 11. 2009 09:22 — Editoval Rumburak (01. 12. 2009 09:31)
Re: Cantorova množina
jsou číselné množiny splňující ![$ \{0,\,1\}\,\subseteq \,C \,\subseteq \,\[0,\,\frac{1}{3}\] \cup \[\frac{2}{3},\,1\] $](/mathtex/a6/a6f541edef1ef78e1e1d2cf0d7d6b480.gif "kopírovat do textarea")
, 
.
, 
.![$\{0,\,\frac{1}{3}\}\subseteq D \subseteq \[0,\,\frac{1}{3}\] $](/mathtex/fe/fef0a2da2fd205129d71e2e9a1edeb5a.gif "kopírovat do textarea")
.
, podobně 
, takže
.
. Z (1) vyplývá ![$\{\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\}\subseteq E \subseteq \[\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\] $](/mathtex/44/445218e6783d9107c13eb6070f7785ac.gif "kopírovat do textarea")
. Zároveň 
, ![$\{\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\}\subseteq E\,\subseteq\, \[\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\] \cap C= \{\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\}$](/mathtex/1d/1d54120b8545b28be43b8514bd7b4c41.gif "kopírovat do textarea")
, odtud 
a zpětně 
nemůže fungovat.EDIT 1 : Ještě jsem opravil jednu chybu v předpokladech na množinu C.
EDIT 2 : Omlouvám se za zmatky, teď už je to snad definitivní.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Cantorova množina (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)