Matematické Fórum

Wosush · 12. 11. 2009 16:00 — Editoval Wosush (12. 11. 2009 16:08)

Dokažte, že v libovolném trojuholníku platí $\frac{1}{r}=\frac{1}{v_a}+\frac{1}{v_b}+\frac{1}{v_c}$ , kde r je poloměr vepsané kružnice a $v_x$ jsou jednotlivé výšky.

Dík za jakoukoli pomoc.

Chrpa · 12. 11. 2009 16:30 — Editoval Chrpa (12. 11. 2009 17:01)

↑ Wosush:
Upravíme nejdříve toto:
1) $\frac{1}{r}=\frac{1}{v_a}+\frac{1}{v_b}+\frac{1}{v_c}\,\Rightarrow\nlr=\frac{v_a\cdot v_b\cdot v_c}{v_b\cdot v_c+v_a\cdot v_c+v_a\cdot v_b}$
Pro poloměr kružnice vepsané trojúhelníku platí:
$r=\frac{S}{s}$ kde S je obsah a $s=\frac{a+b+c}{2}$ kde a,b,c jsou strany trojúhelníka.
Pro obsah S platí:
$S=\frac{a\cdot v_a}{2}\nla=\frac{2S}{v_a}$ obdobně:
$b=\frac{2S}{v_b}\nlc=\frac{2S}{v_c}$
Dosadíme a dostaneme:
2) $r=\frac{2S}{\frac{2S}{v_a}+\frac{2S}{v_b}+\frac{2S}{v_c}}\nlr=\frac{2S\cdot v_a\cdot v_b\cdot v_c}{2S(v_b\cdot v_c+v_a\cdot v_c+v_a\cdot v_b)}\nlr=\frac{v_a\cdot v_b\cdot v_c}{v_b\cdot v_c+v_a\cdot v_c+v_a\cdot v_b}$

Vidíme, že 1) se rovná 2) čímž je formule dokázána.
Nebo ještě lépe takto:
Tvoji rovnici nebudeme upravovat tj:
Máme dokázat toto:
$\frac{1}{r}=\frac{1}{v_a}+\frac{1}{v_b}+\frac{1}{v_c}$
Vyjdeme opět z tohoto:
$r=\frac{S}{s}\,\Rightarrow\nl\frac{1}{r}=\frac{s}{S}=\frac{a+b+c}{2S}\nl\frac 1r=\frac{\frac{2S}{v_a}+\frac{2S}{v_b}+\frac{2S}{v_c}}{2S}\nl\frac 1r=\frac{2S(v_b\cdot v_c+v_a\cdot v_c+v_a\cdot v_b)}{2S\cdot v_a\cdot v_b\cdot v_c}\nl\frac 1r=\frac{v_b\cdot v_c+v_a\cdot v_c+v_a\cdot v_b}{v_a\cdot v_b\cdot v_c}\nl\frac 1r=\frac{1}{v_a}+\frac{1}{v_b}+\frac{1}{v_c}$

Tím je důkaz proveden.

Matematické Fórum

#1 12. 11. 2009 16:00 — Editoval Wosush (12. 11. 2009 16:08)

Matematický problém

#2 12. 11. 2009 16:30 — Editoval Chrpa (12. 11. 2009 17:01)

Re: Matematický problém

Zápatí