Matematické Fórum

Skrytý text:

Rozepíšeme si počet schodů na počet kroků po dvou nebo třech schodech. Vzhledem k lichému
počtu schodů budeme hledat součet, mezi jehož sčítance patří jeden sudý sčítanec a jeden lichý sčítanec.
Jakýkoli celočíselný násobek sudého čísla je sudý, tudíž budeme muset hledat u kroku po lichém počtu
schodů takový násobek, aby součin vždy vyšel lichý. Tyto násobky musí být liché. Takže budeme
sestavovat slova, kde již zmíněné násobky představují počet opakování písmen, které zde zobrazíme
jako kroky po dvou nebo třech schodech.

Maximální počet kroků po třech schodech bude roven 7 (7*3 < 23), přičemž každé další ”slovo”bude
muset mít počet kroků po třech schodech nižší, a zároveň bude muset odpovídat podmínce, že musí
být lichý (abychom dostali do součtu liché číslo). Počet kroků po dvou schodech budeme doplňovat
tak, aby nám součet dával počet schodů.

Rozepíšu si veškeré možné možnosti. Vzhledem k nízkému počtu schodů lze toto jednoduše rozepsat
do 4 variant, které dávají po součtu daný počet schodů.

33333332 = (7*3) + (1*2) = 23
333332222 = (5*3) + (4*2) = 23
3332222222 = (3*3) + (7*2) = 23
32222222222 = (1*3) + (10*2) = 23

Spočítám jednotlivé anagramy slov:

P*(7; 1) = (7+1)!/(7!*1!) = 8
P*(5; 4) = (5+4)!/(5!*4!) = 126
P*(3; 7) = (3+7)! (3!*7! = 120
P*(1; 10) = (1+10)!/(1!*10!) = 11

Součtem všech anagramů dostaneme všechny způsoby, jak vyjít schodiště pomocí kroků po dvou a
třech schody.

P*(7; 1) + P*(7; 1) + P*(7; 1) + P*(7; 1) = 8 + 126 + 120 + 11 = 265