Matematické Fórum

petulkaaa · 13. 11. 2009 10:36

Příklad je ze sbírky od Petákové - str. 124, cv. 7 a). Druhý příklad v tomto cvičení mi vychází, nechápu, co mám v této soustavě za chybu. Hledám ji už strašně dlouho a nemůžu na nic přijít. Díky za pomoc:)

Napiště rovnici kružnice opsané trojúhelníku ABC. Vypočítejte souřadnice středu a poloměr.
a) A [-5; 0], B[2; -1], C[1; 2]

Moje řešení:

(-5-m)^2 + n^2 = r^2
(2-m)^2 + (-1-n)^2 = r^2
(1-m)^2 + (2-n)^2 = r^2

25 + 10m + m^2 + n^2 = r^2 //x (-2)
4 - 4m + m^2 + 1 + 2n + n^2 = r^2
1 - 2m + m^2 + 4 - 4n + n^2 = r^2

-2m^2 - 2n^2 - 20m - 50 = -2r^2
m^2 + n^2 - 4m + 2n + 5 = r^2
m^2 + n^2 - 2m - 4n + 5 = r^2

-20m = 50 --> m = -2,5
-4m + 2n = -5
-2m - 4n = -5

m = -2,5 není správný výsledek... když ho dosadím do dalších dvou rovnice, n vyjde pokaždé jinak... už fakt nvm, co bych tam mohla mít za chybu:(

Rumburak · 13. 11. 2009 10:58

↑ petulkaaa:
Toto

(1) -2m^2 - 2n^2 - 20m - 50 = -2r^2
(2) m^2 + n^2 - 4m + 2n + 5 = r^2
(3) m^2 + n^2 - 2m - 4n + 5 = r^2

je, myslím, ještě dobře, ale není mi úplně jasné, jaký byl Tvůj další úmysl.

Součet této sady rovnic dává -26m - 2n - 40 = 0,

z rodílu "(2) - (3)" plyne -2m + 6n = 0 , tj. m = 3n , to dosadím do předchozí a vychází mi

-26.3n - 2n - 40 = 0 ,
-80n - 40 = 0 ,
n = -1/2, m = -3/2 .

petulkaaa · 13. 11. 2009 11:34

Rumburak napsal(a):
↑ petulkaaa:není mi úplně jasné, jaký byl Tvůj další úmysl

Odečetla jsem si ty m^2, n^2 a r^2, aby mi tam zbyly jenom lineární členy. Tak to nejde? Další rovnici jsem dělala stejně a vyšla mi. Tak já nevím:(

Rumburak · 13. 11. 2009 12:07

Odečetla jsi ty m^2, n^2 a r^2 OD ČEHO ?
Popiš PŘESNĚ jsi udělala, a já Ti odpovím, je-li to správně nebo kde je případně chyba.

petulkaaa · 13. 11. 2009 12:10

Vynásobila jsem si 1. rovnici -2 a od ní odečetla ty 2 další, abych se zbavila těch členů na druhou.

Cheop · 13. 11. 2009 12:13 — Editoval Cheop (13. 11. 2009 13:45)

↑ petulkaaa:
Podívej se na druhou a třetí rovnici od ↑ Rumburak: kvadratické a absolutní členy mají stejné tj.
z těch 2 rovnic platí:
$-4m+2n=-2m-4n\nl2m=6n\nlm=3n$
Teď do rovnice 1) a 2) dosaď za m 3n a vyřeš 2 rovnice.
Mělo by ti vyjít:
$n=-\frac 12\,\Rightarrow\,m=-\frac 32$ a máš souřadnice středu kružnice opsané.
Dopočítej poloměr měl by vyjít $r=\frac{5\sqrt2}{2}$
Dosaď do rovnice kružnice a urči ji.
Rovnice kružnice by měla vyjít:
$x^2+y^2+3x+y-10=0$
Obrázek:

petulkaaa · 13. 11. 2009 12:13

Teď jsem ten stejný příklad počítala přes obecnou rovnici kružnice a vyšlo mi to:D

marnes · 13. 11. 2009 12:23

↑ petulkaaa:
Jen doplním, že se dá i řešit tak, že střed kružnice určíme jsko průsečík os dvou stran a poloměr jako vzdálenost středu od vrcholu

petulkaaa · 13. 11. 2009 12:37

↑ marnes:
Já vím, už to mám vyřešený i tak, ale potřebovala jsem to i tím druhým způsobem.

petulkaaa · 13. 11. 2009 12:55

Děkuju vám všem... už jsem přišla na svoji chybu... udělala jsem úpravu, která byla vlastně blbost. Ale už to chápu:) Takže díky. Asi jsme tohle ve škole moc nedělali:( Za pár měsíců mě čeká maturita, tak bych měla pilovat:(

Cheop · 13. 11. 2009 13:05 — Editoval Cheop (13. 11. 2009 14:45)

↑ petulkaaa:
Třetí řešení(ale jen u tohoto příkladu) je následující:
vektor CA $u=(6\,;\,2)=(3\,;\,1)$
vektor CB $v=(-1\,;\,3)$
Tyto vektory jsou na sebe kolmé. (skalární součin = 0)
Protože vektory CA a CB jsou na sebe kolmé jedná se o trojúhelník pravoúhlý.
Víme-li, že střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku leží ve středu přepony,
pak souřadnice středu kružnice bude středem úsečky AB
tj:
$S_k=\frac{A+B}{2}=\left(\frac{-5+2}{2}\,;\,\frac{0-1}{2}\right)=\left(-\frac 32\,;\,-\frac 12\right)$
Další výpočty budou stejné.

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2009 10:36

Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

#2 13. 11. 2009 10:58

Re: Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

#3 13. 11. 2009 11:34

Re: Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

Rumburak napsal(a):

#4 13. 11. 2009 12:07

Re: Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

#5 13. 11. 2009 12:10

Re: Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

#6 13. 11. 2009 12:13 — Editoval Cheop (13. 11. 2009 13:45)

Re: Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

#7 13. 11. 2009 12:13

Re: Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

#8 13. 11. 2009 12:23

Re: Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

#9 13. 11. 2009 12:37

Re: Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

#10 13. 11. 2009 12:55

Re: Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

#11 13. 11. 2009 13:05 — Editoval Cheop (13. 11. 2009 14:45)

Re: Analytická geometrie - soustava tří kvadratických rovnic

Zápatí