Matematické Fórum

Solfernus · 11. 11. 2009 16:31

${n \choose 0}$ + ${n \choose 1}$ + ... + ${n \choose k-1}$ + ${n \choose k}$ ..... existuje pro vypocet nejaky vzorec. Pro nizke hodnoty mi staci trojúhelnik pana Pascala, ale kdyz mam n=1890 a k=788 nevim si rady. Matematika me bavi, ale mam jen zakladni znalosti. Proto prosim o odpoved primerenou, tedy pro mne pochopitelnou, bude-li to mozne. Dekuji za Vas cas.

marnes · 11. 11. 2009 20:07

↑ Solfernus:

n=0 1 soucet $1=2^0$
n=1 1 1 soucet $2=2^1$
n=2 1 2 1 soucet $4=2^2$
n=3 1 3 3 1 soucet $8=2^3$
.
.
.
n=k soucet $2^k$

Solfernus · 11. 11. 2009 21:44

↑ marnes:

Aby soucet byl 2 $2^k$ , muselo by se k=n.

Pokud n=1890 a k=788, porebuji v podstate secist prvnich 788 cisel 1891. radku Pascalova trojuhelniku (pokud "1", jako vrchol pyramidy, beru jako radek jedna).

Jestli jsem otazku formuloval nepresne, prestoze jsem se snazil o jednoznacnou formulaci, omlouvam se. Duvodem jsou me matematicke znalosti limitne se blizici nule:)

marnes · 12. 11. 2009 12:14

↑ Solfernus:
${n \choose k}$ za tímto jsi měl ....., tak jsem si myslel, že až do konce. Moje chyba, omlouvám se. Nebudu už myslet:-)
Jinak ale nevím. Snad se ti někdo ozve.

Solfernus · 12. 11. 2009 13:39

↑ marnes:

Ty tecky byl za ${n \choose k}$ byly pravda matouci. Pardon.

Rumburak · 12. 11. 2009 14:23

↑ Solfernus:
Snad by se dalo nějak využít vzorců
${n \choose k}+{n \choose k+1}={n +1\choose k+1}$ ,
${n \choose 0}+{n + 1 \choose 1}+ ... +{n + k\choose k} = {n + k +1 \choose k}$ ,
${n \choose k+1}=\frac {n-k}{k+1}{n\choose k}$ ,
${n \choose k}=\frac {n}{k}{n-1\choose k-1}$ ,

ale o "přímém" vzorci pro Tvůj součet nevím ... .

Solfernus · 12. 11. 2009 15:30

↑ Rumburak:
Byt se snazim, nejak se mi nedari... Zkusime to jinak:

Hazite s Pepou 1000x minci. Pokud padne orel, vyhrajes korunu. Po tisici pokusech padl orel 350x a panna 650x. Mel jsi smulu. V noci jsi z toho byl taj rozcileny, ze jsi nemohl usnout a premyslel jsi, jak se to mohlo stat. Jaka to byla smula, ze to tak dopadlo. V podstate te nezajima, jaka je sance, ze to dopadlo PRESNE 350/650 (to se da snadno spocitat), ale zajima te, jaka je sance, ze to priste dopadne STEJNE NEBO HUR! ...Tento priklad je hodne zjednoduseny vyklad jedne pokerove krivky (konkretne rozdil predopkladane vyhry a skutecne vyhry pri dostatecnem (majicim jistou vypovidajici hodnotu) mnozstvi all inů)

Pravdepodobnost se pocita tak, ze v citateli je pocet vsech vyhovujicich moznosti a ve jmenovateli pocet vsech moznosti.

n=1000
k=350

Hledana pravdepodobnost by se mela rovnat ${n \choose k}$ / $2^n$ + ${n \choose k-1}$ / $2^n$ + .... + ${n \choose 1}$ / $2^n$ + ${n \choose 0}$ / $2^n$

$2^n$ ,tedy jmenovatele, mohu rozepsat jako ${n \choose n}$ + ${n \choose n-1}$ + .... + ${n \choose 1}$ + ${n \choose 0}$ (mozna to pomuze pro nejake vykraceni)

Po vynasobeni stem, dostanu odpoved na mou otazku v procentech.

Pokud se nekomu povede to vypocitat a podelit se se mnou i s postupem, ktery bych rad vyuzil ve svem programu, byl bych vdecen.
Dekuji.

Rumburak · 13. 11. 2009 12:03

↑ Solfernus:
Díky za milé přání e-mailem :).
Předesílám, že pokkeru nerozumím vůbec a teorii pravděpodobnosti jen povrchně.
Nevím, jestli se Vámi uvedený příklad uvedený slovy "Hledaná pravděpodobnost by se měla rovnat ..."
má vztahovat ještě k minci nebo již k pokkeru - pokud k minci, tak mi připadá, že to není dobře.

Pokusím se pojednat poněkud o hodu mincí, kterému snad přecejen trochu rozumím. U "ideální mince"
je rozdělení pravděpodobnosti jevů O ="padne orel", P = "padne panna" rovnoměrné, tj. každý z obou
jevů má pravděpodobnost stejnou, a sice 0,5 . U skutečné mince tomu tak být samozřejmě memusí,
a to z různých fyzikálních příčin (drobné nesouměrnosti ve tvaru a pod.). Jednou z cest, jak rozdělení
pravděpodobnosti - alespoň přibližně - určit, je statistika. Provedeme dostatečně velké množství pokusů
(čím větší, tím lepší) a ty vyhodnotíme. Zjistíme například, že při počtu n = 1000 pokusů padne orel 350krát.
Z toho by bylo možno usoudit na rozdělení
pravděpodobnost, že padne orel = 350/1000,
pravděpodobnost, že padne panna = 650/1000.
Ale je počet 1000 pokusů dostatečně velký? To nikdo neví. Je přirozené očekávat, že při rostoucím počtu
pokusů se chyba takovéhoto odhadu bude "v průměru" zmenšovat, což je i matematicky dosti podrobně
zpracováno, ale není to úplně triviální (a já jsem se tím nikdy nezabýval, tekže to neznám), nicméně
dalo by se to nalézt v nějaké učebnici pravděpodobnosti a statistiky, více poradit tímto směrem neumím.
Zkusíte-li ještě podrobněji rozepsat úvahu, která Vás vedla ke vzorci
$P = {n \choose k} / 2^n + {n \choose k-1} / 2^n + .... + {n \choose 1} / 2^n + {n \choose 0} / 2^n$ ,
mohu se na to podívat z tohoto pohledu.

Kondr · 13. 11. 2009 12:15

↑ Rumburak: Zdravím :o)

Mince není falešná, pravděpodobnost panny i orla je proto 1/2. Pravděpodobnost, že padne nejvýše k-krát orel je dle binomického rozdělení
$P = {n \choose k} / 2^n + {n \choose k-1} / 2^n + .... + {n \choose 1} / 2^n + {n \choose 0} / 2^n$

Tohle ale počítat neumíme. Řeší se to tak, že aproximujeme binomické rozdělení rozdělením normálním a výsledek pak odečteme z tabulky distribuční funkce normálního rozdělení. Viz http://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

Rumburak · 13. 11. 2009 12:32

↑ Kondr:
Zdravím rovněž a děkuji za vysvětlení, v počtu pravděpodobnosti mám co dohánět. :)

Solfernus · 13. 11. 2009 13:27

↑ Kondr:
Dekuji marnesovi, Rumburakovi a Kondrovi.
Zda se, ze reseni bude ponekud slozitejsi, nez jsem puvodne predpokladal.

Soucet prvnich "k+1" cisel "n" teho (kdyz "1", jako vrchol pyramidy povazuji za nulty radek) radku Pascalova trojuhelniku, coz je citatel naseho zlomku, pokud se nepletu, neni zadna legrace:)

... Jsu se seznamit s aproximaci binomickeho rozdeleni rozdelenim normalnim...

Jeste jednou dik za Vas cas.

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2009 16:31

Soucet kombinacnich cisel

#2 11. 11. 2009 20:07

Re: Soucet kombinacnich cisel

#3 11. 11. 2009 21:44

Re: Soucet kombinacnich cisel

#4 12. 11. 2009 12:14

Re: Soucet kombinacnich cisel

#5 12. 11. 2009 13:39

Re: Soucet kombinacnich cisel

#6 12. 11. 2009 14:23

Re: Soucet kombinacnich cisel

#7 12. 11. 2009 15:30

Re: Soucet kombinacnich cisel

#8 13. 11. 2009 12:03

Re: Soucet kombinacnich cisel

#9 13. 11. 2009 12:15

Re: Soucet kombinacnich cisel

#10 13. 11. 2009 12:32

Re: Soucet kombinacnich cisel

#11 13. 11. 2009 13:27

Re: Soucet kombinacnich cisel

Zápatí