Matematické Fórum

agnusxx · 14. 11. 2009 14:18

Dobrý den, již delší dobu se zabývám tímto příkladem: http://is.gd/4UPel ,, ale mé zkušenosti jsou příliž omezené, natož abych došel k uspokojivému výsledku ,, tim myslím i postup .. Proto, pokud se zde najde nějaký inteligentní člověk, co by si troufl tento příklad vyřešit a uvedl zde postup až k výsledku, pak klobouk dolů :-)

Pavel Brožek

Tady se použije substituce $x=\sinh y$ (Hyperbolický sinus), trochu se to upraví (použijou se vzorce pro hyperbolické funkce) a pak se to už snadno integruje. Zkus to s touhle nápovědou, kdyby se nedařilo, rozepíšu podrobně.

agnusxx · 14. 11. 2009 16:14

Děkuji za radu ,, ale pro jistotu bych byl moc rád, kdyby jste to raději rozepsal podrobněji ,, abych měl jistotu, že sem neudělal chybu ,, předem děkuji ...

Pavel Brožek · 14. 11. 2009 16:30

↑ agnusxx:

$\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,\textrm{d}x=\int\frac{\sqrt{1+\sinh^2{y}}}{\sinh^2y}\cdot(\cosh y\,\textrm{d}y)=\int\frac{\sqrt{\cosh^2{y}}}{\sinh^2y}\cdot \cosh y\,\textrm{d}y=\nl =\int\frac{\cosh{y}}{\sinh^2y}\cdot \cosh y\,\textrm{d}y=\int\frac{\cosh^2{y}}{\sinh^2y}\,\textrm{d}y=\int\frac{1+\sinh^2{y}}{\sinh^2y}\,\textrm{d}y=\nl =\int$\frac{1}{\sinh^2y}+1$\,\textrm{d}y=-\coth y+y+C=-\coth (\textrm{argsinh} x)+\textrm{arcsinh} x+C$

Výsledek se dá ještě zjednodušit a je potřeba tam dosadit meze při počítání určitého integrálu.

Můžete napsat váš postup, pokud v něm bude chyba, najeme ji. Výsledek si můžete ověřit zde.

agnusxx · 14. 11. 2009 19:11

Díky moc za postup ,, trošku mě to posunulo ,, ale nemám ponětí jak se mam dostat z vašeho tvaru: $-\-\coth (\textrm{argsinh} x)+\textrm{arcsinh} x+C$ na tvar výsledku, jenž ma být $sqrt2-2/sqrt3 -sinh^{-1} (1)+sinh^{-1}sqrt(3$ ...

Pavel Brožek · 16. 11. 2009 23:13

↑ agnusxx:

$-\coth (\textrm{argsinh} x)=-\frac{\cosh(\textrm{argsinh} x)}{\sinh(\textrm{argsinh} x)}=\nl =-\frac{\sqrt{1+(\sinh(\textrm{argsinh} x))^2}}{x}=-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$

Zbytek už je opravdu jen dosazení mezí určitého integrálu...

agnusxx · 18. 11. 2009 16:27

ohromné :-) ,, opravdu moc děkuji :-)

Marian · 18. 11. 2009 21:28 — Editoval Marian (18. 11. 2009 21:30)

↑ agnusxx:↑ BrozekP:

Řešil bych integrál jinak. Naznačím výpočet (neurčitého iintegrálu), který je elementární.

$I:=\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}\,\mathrm{d}x$ .

Budeme-li uvažovat nad susbtitucí $1+\frac{1}{x^2}=T$ , máme $\frac{-2}{x^3}\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}T$ . Odtud také plyne $x^2=\frac{1}{T-1}$ . Toto celkem dává

$I=\int\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\cdot\left (\frac{-2}{x^3}\right )\cdot\left (\frac{x^2}{-2}\right )\,\mathrm{d}x=\frac{-1}{2}\int\frac{\sqrt{T}}{T-1}\,\mathrm{d}T.$

Dále substituce $z=T^2$ konečně transformuje daný integrál na tvar
$I=-\int\frac{z^2}{z^2-1}\,\mathrm{d}z.$

Tady je výpočet už snadný.