#1 14. 11. 2009 16:46
důkaz
Zdravim už 3 dny trávím na příkladem a nevím jak ho vyřešit...nemohl by mi nekdo poradit nebo aspon naznacit jak zacit..?
mam rekurentnim predpisem danou fci f(n) z přirozených do celých čísel : f(0)= -5
f(n+1)= 3*f(n)+6*n+17 pro všechna n>=0
a mám dokázat větu : existuje přirozené n_0, ze pro vsechna n>=n_0 platí:
f(n)<= 5*3^n -2009
za pomoc dekuji
Offline
#2 14. 11. 2009 18:02
- kaja(z_hajovny)
- Místo: Lážov
- Příspěvky: 1002
- Reputace: 12
- Web
Re: důkaz
zacal bych vyresenim diferencni rovnice f(n+1)= 3*f(n)+6*n+17 s pocatecni podminkou f(0)= -5
Offline
#3 14. 11. 2009 18:42
Re: důkaz
To je fajn...vždycky v procvičování to bylo dokažte že je něco dělitelny dvěma nebo napiste vzorec pro f(n) v závislostni na f(n-2) a ted dostanu ukol kde se mají řešit diferencni rovnice bez toho aby nekdy nekdo vysvetlil jak se to resi. Takhle asi zacina to cedeni prvniho semestru.
Offline
#5 14. 11. 2009 21:47
- kaja(z_hajovny)
- Místo: Lážov
- Příspěvky: 1002
- Reputace: 12
- Web
Re: důkaz
urcite to neni dobre, musi tam figurovat geoemtricka poslopnost s kvosientem 3 a ne 20.
mozna to jde i jinak, ja proste kdyz vidim diferencni rovnici tak mi sepne ze to je diferencni rovnice
obecne reseni je zde
Offline
#6 14. 11. 2009 22:29
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4247
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: důkaz
↑ L.Devil:Je to těžší, ale dá se to ubít i bez znalostí dif. rovnic. Chceme ukázat, že od nějakého n je f(n)<5*3^n-2009. I když takové n najdeme, indukcí to nedokončíme, protože v indukčním kroku náám bude pořád zavazet to 6n. Pokusíme se dokázat silnější tvrzení, f(n)<5*(3^n)-n. Nyní je situace o něco lepší, už nám tam zavazí pouze 3n. Proto dokazované tvrzení ještě zesílíme, a to na f(n)<5*(3^n)-3n. Člene 6n se tímto v indukčním kroku zbavíme, ještě potřebujeme dostat pryč tu sedmnáctku. Tvrzení zesílíme na f(n)<5*(3^n)-3n-A. Aby indukční krok fungoval, musí A splňovat nerovnost -A>=-3A+3+17, nejmenší vyhovující A je deset. Tvzení f(n)<5*(3^n)-3n-10 už snadno dokážeme.
Pokud ale dostáváte takovýchto úloh víc, doporučuju se diferenční rovnice naučit.
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline
#8 14. 11. 2009 22:33
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4247
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: důkaz
↑ L.Devil:Protože to je obecné řešení rovnice 
, tak tam je parametr 
. Ten se dopočítá z počátečních podmínek (tj. z rovnice f(0)=-5). výsledek
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline
#10 16. 11. 2009 00:17
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4247
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: důkaz
Tak ještě jednou pořádně:
Náš důkaz se bude skládat ze dvou částí. Nejprve najdeme explicitní tvar funkce f a následně z něj odvodíme existenci hledaného n_0.
Na základě prvních několika hodnot funkce f vyslovme hypotézu, že
f(n)=5*3^n-3n-10. (*)
Tuto hypotézu nyní ověřme indukcí.
Bázový krok:
f(0)=-5
5*3^0-3*0-10=-5
Proto pro n=0 platí f(n)=5*3^n-3n-10.
Indukční krok: předpokládejme, že f(k)=5*3^k-3k-10 a dokažme f(k+1)=5*3^(k+1)-3(k+1)-10
Ze zadání f(k+1)= 3*f(k)+6*k+17, dosazením z indukčního předpokladu máme
f(k+1)= 3(5*3^k-3k-10)+6*k+17=5*3^(k+1)-9k-30+6k+17=5*3^(k+1)-3k-13=5*3^(k+1)-3(k+1)-10
Tím je hypotéza (*) dokázána.
Nyní ukážeme, že n_0 s danou vlatností existuje a že jednou z vyhovujících hodnot je n_0=1000. Pro n>n_0 máme f(n)=5*3^n-3n-10, využitím nerovnosti n>n_0 (tj. n>1000) máme -3n<-3000, proto f(n)<5*3^n-3000-10<5*3^n-2009. Tím je zadané tvrzení dokázáno.
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline
#11 17. 11. 2009 17:36
- FigeraldKenedy
- Místo: Brno, Valtice
- Příspěvky: 34
- Reputace: 0
Re: důkaz
to Kondr: zdravím f(n)=5*3^n-3n-10 toto je výsledek čeho? na to jsme došli pomoci toho že jsme ěnco zderivovali ne?
v posledním příspěvku důkaz že n_0 s danou vlastností existuje. To n_0=1000 to jsme si zvolili libovolné? díky
Offline